I et eksempel som gis i boken forstår jeg omtrent hele utregningen bortsett fra et punkt. Viser hva som står frem til dette punktet:
OPPGAVE:
Obtain an approximate solution of [tex]\ddot{x} + x = \epsilon x^3[/tex], with [tex]x(\epsilon, 0) = 1[/tex], [tex]\dot{x}(\epsilon, 0) = 0[/tex], with error [tex]O(\epsilon^3)[/tex] uniformly on [tex]t \geq 0[/tex] using the method of coordinate perturbation.
LØSNING:
Substitute the expansion
[tex]x(\epsilon,t) = x_{0}(t) + \epsilon x_{1}(t) + \epsilon^2 x_{2}(t) + . . .[/tex]
into the equation
[tex]\ddot{x} + x = \epsilon x^3[/tex]
to give
[tex]\ddot{x}_{0}(t) + \epsilon \ddot{x}_{0}(t) + . . .) + (x_{0}(t) + \epsilon x_{1}(t) + . . .) = \epsilon(x_{0}(t) + \epsilon x_{1}(t) + . . .)^3[/tex]
The initial conditions are
[tex]x_{0}(0) = 1[/tex], [tex]\dot{x}_{0}(0) = 0[/tex]
[tex]x_{1}(0) = 0[/tex], [tex]\dot{x}_{1}(0) = 0[/tex]
[tex]x_2{0}(0) = 0[/tex], [tex]\dot{x}_{2}(0) = 0[/tex]
Her er det jeg ikke helt ser hvordan man kommer frem til dette. Hvorfor er det slik at vi av den gitte initialbetingelsen f.eks. vet at [tex]x_{0}(0) = 1[/tex] mens [tex]x_{1}(0) = 0[/tex]
Setter veldig stor pris på en forklaring på dette. Det er sikkert noe elementært jeg overser her.
Perturbasjon og initialverdier
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Takk for svar.
Tror dessverre ikke at jeg helt forstår dette. Kunne du vært så snill å utdype dette litt mer? Tenker da spesielt på når du skriver at "Eneste måten å sikre at x(0) = 1 på er at x_0(1) = 1." Vi har jo ingen steder over der vi setter opp en verdi for x_0(1).
Tror dessverre ikke at jeg helt forstår dette. Kunne du vært så snill å utdype dette litt mer? Tenker da spesielt på når du skriver at "Eneste måten å sikre at x(0) = 1 på er at x_0(1) = 1." Vi har jo ingen steder over der vi setter opp en verdi for x_0(1).
EDIT:
[tex]x(\epsilon,t)=x_0(t)+\epsilon x_1(t)+...[/tex].
[tex]x_j(t)[/tex]-ene avhenger ikke av [tex]\epsilon [/tex]. Det betyr nødvendigvis at initialbetingelsene [tex]x_j(0)=k_j[/tex] heller ikke avhenger av [tex]\epsilon[/tex]. Vi har videre at [tex]x(\epsilon, 0)=1[/tex].
Anta at [tex]x_0(0)\neq 1[/tex]. Som eksempel [tex]x_0(0)=0.9[/tex]. Initialbetingelsen blir altså
[tex]x(\epsilon,0)=0.9+\epsilon k_1+\epsilon^2 k_2+...=1[/tex]. Altså må [tex]\epsilon(k_1+\epsilon k_2+...)=0.1[/tex], og dette skal gjelde for alle epsilon nær 0. Det er opplagt umulig. Altså er eneste mulighet at [tex]x_0(0)=1[/tex] og [tex]x_j(0)=0[/tex] for [tex]j\in \mathbb{N}\setminus 0[/tex]
Det ble visst en skrivefeil i mitt opprinnelige innlegg. Vi har altså atplutarco wrote:Initialbetingelsene for [tex]x_j[/tex] må være uavhengig av epsilon (siden disse funksjonene er uavhengige av epsilon). Eneste måten å sikre at [tex]x(0)=1[/tex] på er at [tex]x_0(0)=1[/tex].
[tex]x(\epsilon,t)=x_0(t)+\epsilon x_1(t)+...[/tex].
[tex]x_j(t)[/tex]-ene avhenger ikke av [tex]\epsilon [/tex]. Det betyr nødvendigvis at initialbetingelsene [tex]x_j(0)=k_j[/tex] heller ikke avhenger av [tex]\epsilon[/tex]. Vi har videre at [tex]x(\epsilon, 0)=1[/tex].
Anta at [tex]x_0(0)\neq 1[/tex]. Som eksempel [tex]x_0(0)=0.9[/tex]. Initialbetingelsen blir altså
[tex]x(\epsilon,0)=0.9+\epsilon k_1+\epsilon^2 k_2+...=1[/tex]. Altså må [tex]\epsilon(k_1+\epsilon k_2+...)=0.1[/tex], og dette skal gjelde for alle epsilon nær 0. Det er opplagt umulig. Altså er eneste mulighet at [tex]x_0(0)=1[/tex] og [tex]x_j(0)=0[/tex] for [tex]j\in \mathbb{N}\setminus 0[/tex]
