matematikk.net

Jeg kom over dette problemet på en opptaksprøve til Arkitekthøgskolen ifjor.

3A løste jeg greit, for jeg vet at en kjegles volum er en tredjedel av en sylinders hvis
de har samme høyde og diameter.

Men 3B slet og sliter jeg med. En eksponentialfunksjon ála 2^x forteller meg hvor mange
erter som puttes oppi hvert minutt. Men jeg må vel legge sammen hvert minutts antall nye erter for
å finne hvor mange erter som er i gryta? Og i tillegg må denne oppgaven gjøres uten kalkulator!

Har dere noen tips?

Har tenkt på en løsning hvor man setter:

1+2^120/2 = 1+2^120-x

og så løse ligningen, men jeg får ikke til det heller

Hilsen endrix

Er du kjent med integrasjon?

Har akkurat begynt å lese om det nå.
Hvordan ville du brukt det på dette eksemplet?

E

Imho

[tex]\int_{0}^{t} 2^x \, \mathrm{d}x \, = \, \frac{1}{\ln(2)}2^t[/tex]

Er vel det Aleks mener, dog blir dette litt feil. Da dette forvneter at du legger en kontinuerlig mengde erter opp i kurven. Noe som du ikke gjør, du legger bare erter opp i kurven hvert minutt.

En bedre måte å angripe problemet på er at vi sier at t = antall minutter.

[tex]\large \qquad \begin{tabular}{|c |c|} \hline \ t \ & \ k \ \\ \hline 0 & 1 \\ 1 & 2 \\ 2 & 4 \\ 3 & 8 \\ 4 & 16 \\ 5 & 32 \\ \vdots & \vdots \\ n & 2^{n} \\ \hline\end{tabular}[/tex]

Slik at summen blir [tex]S(n) \, = \, 1 \, 2 \, + \, 4 \, + \, 8 \, + \, ... \, + \, 2^n[/tex] som er en geometrisk rekke hvor [tex]k = \frac{a_{n+1}}{a_n} \, = \, 2[/tex].

Summen av en geometrisk rekke er gitt som

[tex]S(n) \, = \, a_n \frac{1 \, - \, k^n}{1 \, - \, k}[/tex]

Slik at vi får at antall erter i kurven etter t minutter er

[tex]S(t) \, = \, 2^0 \cdot \frac{1 - 2^t}{1 - 2} \, = \, \cdot 2^t - 1 \, = \, 2^{t}-1[/tex]

Her er en fil som godt viser forskjellen mellom å anta kontinuerlig bakterievekst, og å anta at den bare vokser en gang i minuttet =)

http://www.2shared.com/file/Umruac8F/ekspVekst.html