Potensrekker

[gundersen]

Jeg skal bestemme summen av rekken, og intervallet hvor rekken konvergerer.
Fikk til lignende oppgaver, men sitter bom fast på denne her.
Rekken:
[tex]1 \cdot 3 - 2 \cdot 4x + 3 \cdot 5{x^2} - 4 \cdot 6x{}^3......[/tex]
[tex] = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{{( - 1)}^n}} (n + 1)(n + 3){x^n}[/tex]

Det første jeg gjorde var å gange (-1)^n og x^n sammen til (-x)^n.
har også tenkt på å skrive om;
(n+1)(n+3) = (n+1)((n+1)+2)) = (n+1)^2 + 2(n+1) og så jobbe meg videre derfra.
siden:
[tex] = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{{( - 1)}^n}} (n + 1){x^n} = \frac{1}{{{{(1 + x)}^2}}}\[/tex]

Satt pris på et lite dytt i riktig retning hvertfall

[Gustav]

Benytt at [tex]\int (n+1)x^n \,dx=x^{n+1}+C[/tex].

La [tex]g^,(x)=\sum_n (-1)^n (n+1)(n+3)x^n[/tex]

Altså blir [tex]g(x)+C=\int g^,(x)\,dx=\sum_n (-1)^n(n+3)(x)^{n+1}=-x^2\sum_n n(-x)^{n-1}+3x\sum_n(-x)^n[/tex]

Den siste summen er en vanlig geometrisk rekke.

Den første summen kan man finne med samme fremgangsmåte som over.

Merk at denne metoden er en formell metode som generelt krever visse antagelser om uniform konvergens slik at vi kan tillate ombytte av integral og sum.