Diofantisk ligning i faktoreringsområde

[wingeer]

Hei,

Sitter med en diofantisk ligning som Fermat sendte til Wallis på sin tid for å erte han litt. Ligningen er: [tex]y^2+2=x^3[/tex].
Oppgaven er å vise at de eneste løsningene til ligningen er [tex]y=\pm 5[/tex], [tex]x=3[/tex]. Jeg har klart å vise at løsningene må være oddetall gjennom et enkelt delbarhetsargument, men ønsker nå å komme frem til løsningen. Jeg er gitt et hint, og det er å bruke at [tex]Z \[\sqrt{-2}\][/tex] er et Euklidisk domene med norm [tex]N(a+\sqrt{-2}b)=a^2+2b^2[/tex].
Jeg har lagt merke til at [tex]y^2+2=(y-\sqrt{-2})(y+\sqrt{-2})[/tex] og tenkte at dette var greit, men i fasit blir det vist at største felles divisor mellom disse er 1. Er dette nødvendig? Hvorfor?

[Per Spelemann]

Jeg slo opp denne diofantiske ligningen i tallteoriboka mi, og tror jeg fant forklaringen på hvorfor de viser at største felles divisor er 1:

Primfaktorene i x³ kommer «kubikkvis». Pga. sfd. lik 1, så vil alle like primfaktorer enten være å finne i
[tex]y + \sqrt{-2} [/tex] eller alle vil være i [tex] y - \sqrt{-2} [/tex].

Følgelig blir:
[tex]y + \sqrt{-2} = ( a + b\sqrt{-2} )^3[/tex]

[wingeer]

Dette gav mening. Takk for svar!