Finne en utvidelseskropp av Q

[wingeer]

Hei,
Nå har det skjedd igjen; Jeg har sittet oppe altfor lenge med en oppgave. Ingen av oss vil gi seg, og jeg må kaste inn håndkleet for å få litt hjelp.
Oppgaven lyder slik:

"Show that [tex]x^3-2 \in Q\[x\][/tex] is irreducible over Q. Find (if it exists) an extension K of Q having all roots of [tex]x^3-2[/tex] such that [tex]\[K:Q\]=6[/tex]."

Oppgaven er jo litt todelt. Del 1: La [tex]f(x)=x^3-2[/tex]. f(x) er irredusibelt. Dette følger ut fra Eisensteins kriterium dersom en velger p=2, siden 2 ikke deler 1, 4 ikke deler 2, men 2 deler 2. Vi finner så alle røttene til f ved å gange opp den reelle rota med
[tex]\omega = e^{\frac{2 \pi i k}{3}}[/tex]
for k=1, 2, og får da at røttene er
[tex]x=\sqrt[3]{2}, \omega \sqrt[3]{2}, \omega^2 \sqrt[3]{2}[/tex].
Så kommer delen hvor vi skal finne en utvidelseskropp av Q. En slik kropp eksisteres ved Kroneckers teorem. Problemet er så å finne den, samt at den skal ha dimensjon lik 6 over Q.

Et alternativ kunne jo vært C, men det passer ikke inn med dimensjonen. Jeg antar vi skal danne en mindre kropp utifra dette.
I boken står det noe om at hvis E er en utvidelseskropp av F og vi har et irredusibelt polynom p(x) i F som har rot u i E, så kan vi danne F(u) som er den minste underkroppen av E som inneholder F og u. Dette gjør de ved å definere en homomorfi:
[tex]\Phi : F[x] \to E[/tex], ved [tex]\Phi (f(x)) = f(u)[/tex].
Så viser de at siden idealet generert av p(x) i F[x] er maksimalt, og [tex]Ker \Phi = p(x)[/tex] så er:
[tex]F[x] / (p(x))[/tex] isomorf med [tex][tex][/tex]F = \{a_0 + a_0u + \cdots + a_mu^m | a_0 + a_0x + \cdots + a_mx^m \in F[x] \}[/tex] gjennom fundamentalhomomorfiteoremet. Hvor vi har at [tex][tex][/tex]\[F:F\]=deg(p(x))[/tex]

Derfor tenkte jeg at en kandidat kunne være [tex]Q\[\sqrt[3]{2}\][/tex], men jeg er da litt usikker på hvordan elementene i denne gruppen ser ut. Blir det rett og slett bare at:
[tex]Q\[\sqrt[3]{2}\]= \{ a_0 + a_1\sqrt[3]{2} + a_2(\sqrt[3]{2})^2 | a_0 + a_1x + a_2x \in Q[x] \}[/tex]?
Her er jo graden 3, og jeg mangler noen røtter. Hvordan fortsetter jeg herfra?

[Per Spelemann]

Kanskje du må utvide kroppen videre slik at den f.eks. også inneholder [tex]\sqrt{3}[/tex]?

[wingeer]

Ja, jeg tenkte at jeg må utvide kroppen videre, men jeg er usikker på hvordan. Hvorfor skal roten av 3 være med? Den er jo ikke en rot av polynomet vi startet med?
Jeg er også litt usikker på hvordan strukturen blir dersom en har en utvidelseskropp E av F og et endelig antall algebraiske elementer [tex]a_0, a_1 \cdots a_n \in E[/tex], og så danner [tex]F(a_0, a_1 \cdots a_n)[/tex]. Noen som kan hjelpe?

[Per Spelemann]

[tex]\sqrt{3}[/tex] var et dårlig eksempel. Som du sier, det ikke er en rot av det opprinnelig polynomet. Å finne en utvidelse av
[tex]\mathbb{Q} ( \sqrt[3]{2} ) [/tex]
som også inneholder
[tex] \omega \sqrt[3]{2} [/tex]
vil nok være riktigere.

Da tar du vel utgangspunkt i det irredusible polynomet (over [tex]\mathbb{Q} ( \sqrt[3]{2} ) [/tex]) :
[tex] (x^3 - 2) / ( x - \sqrt[3]{2} ) = x^2 +x \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4} [/tex]

[wingeer]

Etter litt tid og ettertanke skjønner jeg nå hvorfor du gjør som du gjør. Det er bare en ting jeg er litt usikker på, og det er hva basisen for [tex]Q(\sqrt[3]{2}, \omega)[/tex] blir. Hvordan ser elementene ut i denne kroppen?

[Per Spelemann]

Hvis jeg ikke tar mye feil, så finner du elementene til «total-basisen» ved å multiplisere par av basis-elementer fra de to utvidelsene.

Altså:

[tex] 1, \text{ } \sqrt[3]{2}, \text{ } \sqrt[3]{4}, \text{ } \omega, \text{ } \omega \sqrt[3]{2}, \text{ } \omega \sqrt[3]{4} [/tex]

[Masamune]

Det er [tex]Q(\sqrt[3]{2}, \omega)[/tex] som blir kroppen din. Basisen er som Per Spelemann har skrevet opp, og alle elementer i kroppen er lineærkombinasjoner av basiselementene. Denne kroppen er seksdimensjonal over [tex]Q[/tex], og inneholder alle røttene som ble nevnt i åpningsinnlegget.

Det enkleste tilfelle av kroppsutvidelse er å gå fra [tex]R[/tex] til [tex]C[/tex] hvor man legger til [tex]i[/tex](rot av [tex]x^2 + 1[/tex]) og får alle lineærkombinasjoner av 1 og [tex]i[/tex]. Siden [tex]i^2 = -1[/tex] blir denne utvidelsen bare todimensjonal.

[wingeer]

Det er kanskje bare jeg som er litt treg, men jeg klarer ikke å se hvordan den siste roten er med i kroppen?
Uansett, takk for all hjelp hittil!

[Masamune]

Husk at summen av alle enhetsrøttene er lik 0 (hvis man har mer enn 1 rot). Dette får man ved hjelp av formelen for en geometrisk rekke. Dermed har vi at
[tex]\omega^2 = -\omega - 1[/tex]
som er en lineærkombinasjon av basiselementer.

[wingeer]

Aha! Det hadde jeg glemt. Da gir alt mening. Tusen takk!

[Masamune]

Bare hyggelig! Legg også merke til at utvidelsen ikke hadde vært av grad 6 hvis [tex]\omega^2[/tex] hadde vært uavhengig av de andre basiselementene. Hvis f. eks. [tex]\omega^2[/tex] er uavhengig av de andre elementene, mens [tex]\omega^3[/tex] ikke er uavhengig av andre basiselementer, så hadde utvidelsen hatt grad 9 (to utvidelser av grad 3).

[wingeer]

Vet ikke helt om jeg forstod det helt rett.
Hvis [tex]\omega^2[/tex] hadde vært uavhengig ville vi blitt nødt til å utvide kroppen enda en gang? Men ville ikke da det irredusible polynomet vi satt igjen igjen med etter å ha faktorisert ut røttene i utvidelsen bidratt til at dimensjonen over den forrige utvidelseskroppen hadde blitt 1-1=0? Det er vel kanskje ikke mulig i dette eksempelet?

[Masamune]

Det siste innlegget mitt var nok litt forvirrende. Jeg mente ikke at man må utvide en gang til. Det er bare slik at graden på utvidelsen blir høyere, altså dimensjonen på den utvidede kroppen blir høyere. Man ville fått basiselementene [tex]\omega^2, \omega^2 \sqrt[3]{2}, \omega^2 \sqrt[3]{4}[/tex] i tillegg. Hvis jeg husker rett så blir graden på utvidelsen med en rot fra et irredusibelt polynom lik graden på polynomet.