Ligning med ln(x)

[malef]

[tex]\ln x + \ln (x+2)= \ln 3[/tex]

Utnytter at to tall er like når logaritmene deres er like:

[tex]x + x+2= 3 \\ 2x=1 \\ x= \frac{1}{2}[/tex]

Rett svar er 1. Hva har jeg gjort feil?

[malef]

Jeg fant visst ut av det selv. Brukte at [tex]\ln (ab)= \ln (a)+\ln (b)[/tex] og fikk en andregradsligning

[Aleks855]

Fint det. Bare du innser hva du gjorde feil i den første, så er vel det den viktigste leksa.

[malef]

Ja, etter litt grubling kom jeg frem til at den første fremgangsmåten ble feil fordi [tex]\ln (x+2) \ \neq \ \ln (x)+\ln(2)[/tex]. Med uttrykket på høyre siden av ulikhetstegnet ville vel den fremgangsmåten fungert.

[Fibonacci92]

Det blir fortsatt feil å gjøre slik du foreslår i din siste kommentar.

[tex]ln(x) + ln(x+2) = ln(3)[/tex]

Korrekt:

[tex]e^{ln(x) + ln(x+2)} = e^{ln(3)}[/tex]

[tex]e^{ln(x)} \cdot e^{ln(x+2)} = e^{ln(3)}[/tex]

[tex]x(x+2) = 3[/tex]

Feil:

[tex]e^{ln(x)} + e^{ln(x+2)} = e^{ln(3)}[/tex]

[tex]x + (x+2) = 3[/tex]

Du kan ikke opphøye e i hvert enkelt ledd, men må opphøye e i hele venstre og hele høyre side.

Tenk for eksempel på kvadratrøtter:

[tex]\sqrt{41} = \sqrt{25+16}[/tex] er ikke det samme som [tex]\sqrt{25} + sqrt{16} = 5 + 4 = 9[/tex]

[Aleks855]

[tex]lnx + ln(x+2) = ln3 \\ ln(x(x+2)) = ln3 \\ ln(x^2 + 2x) = ln3 \\ x^2 + 2x = 3 \\ x^2 + 2x - 3 = 0 \\ (x+3)(x-1) = 0 \\ x=-3 \ v \ x=1[/tex]

x=-3 er falsk løsning, siden den ikke kan settes inn i likninga vi starter med.

x=1

Flere veier til Rom, Fibo.

[Fibonacci92]

Ja det er jeg klar over, men nå tolker jeg det siste innlegget til malef som om at han skriver at han kunne brukt at

[tex]ln(x) + ln(x) + ln(2) = ln(3)[/tex]

vil si at:

[tex] x + x + 2 = 3 [/tex]

eller at

[tex]ln(x) + ln(2) = ln(3)[/tex]

vil si at:

[tex] x + 2 = 3 [/tex]

avhengig av hvordan du tolker det han skriver.

[malef]

Med uttrykket på høyre siden av ulikhetstegnet ville vel den fremgangsmåten fungert.

Ser at denne gir rom for tolkning. Jeg tenkte meg et tilfelle der vi hadde ligningen

[tex]\ln x + \ln x+ \ln 2= \ln 3[/tex]

Og i dette tilfellet trodde jeg at man kunne bruke regelen om at tall med identiske logaritmer er like.

Men det kan jo ikke stemme. I et slikt tilfelle må det vel bli [tex]\ln (x \cdot x \cdot 2) = \ln 3\Leftrightarrow 2x^2=3[/tex] ?

[Fibonacci92]

Det siste du gjør er korrekt ja!:)

Det er korrekt at tall med identisk logaritmer er like ja.

Betrakt dette tilfellet:

ln(x) + ln(5) = ln(3)

her står det ikke at logaritmen til (x + 5) er lik logaritmen til 3, men at logaritmen til x + logaritmen til 5 er lik logaritmen til 3. Regelen din kan derfor ikke brukes.

Hadde det stått

ln(x + 5) = ln(3)

kunne du brukt regelen fordi det faktisk står at logaritmen til (x + 5) er lik logaritmen 3, og følgelig må (x+5) og 3 være like.

[malef]

Takk for grundig forklaring Tror jeg har kommet et godt steg nærmere å få taket på dette nå.