Integrering av trigonometriske funksjoner

[laustr]

Har en oppgave som sier rekn ut: [symbol:integral] [tex]\frac{1}{cos^2(2x)} dx[/tex]

Vet at svaret blir [tex]\frac{tan(2x)}{2} + C[/tex]
, men lurer på hvordan man kan rekne ut dette for hånd uten å bruke at

[symbol:integral] [tex] \frac{1}{cos^2(x)}=tan(x)+C [/tex]

Har prøvd forskjellige metoder og prøvd å endre på uttrykket men sitter helt fast

[svinepels]

Har du spesifikt fått dette i oppgave? Generelt kan man ikke regne med at det alltid finnes rett-fram-metoder (substitusjon, delvis integrasjon, osv) for å finne antideriverte, og at

[tex](\tan x )^{\prime} = \frac{1}{(\cos x)^2}[/tex]

er såpass velkjent at det er ok å bruke dette på f.eks. en prøve eller eksamen.

[laustr]

Kom på at ej kan bruke brøkregelen for derivasjon berre motsatt veg XD
men takk for hjelpa

Og nei, det stod ikkje spesefikt at vi skulle rekne det for hand men bere lurte på viss det kordan skal man så rekne d ut.

[Nebuchadnezzar]

Nå er jeg helt enig med Svinepels, og dette er en av identitetene en bare må huske. (JEg hadde litt problemer med å godta dette i begynnelsen og)

Men det er svært mange av integrasjonsreglene, som følger direkte av derivasjon. Hvordan skulle du ellers klart å integrere for eksempel e^x eller sin x? ( Jada, det finnes metoder men disse er ganske vanskelige å bruke, for eksempel kan vel en bruke rekkeutvikling, men da må en passe på og ikke bruke det en skal vise )

Om en virkelig vil være pedantisk, kan en gjøre som vist under =)

[tex]\begin{align} \int \frac{1}{\cos(x)^2} \, \mathrm{d}x \ = & \int \frac{\cos(x)^2 + \sin(x)^2}{\cos(x)^2} \, \mathrm{d}x \\ = & \int \frac{\bigl( \sin(x) \bigr)^\prime \cos(x) - \left( -\cos(x) \right)^\prime \sin(x)}{[\cos(x)]^2} \, \mathrm{d}x \\ = & \int \left( \frac{\sin x}{\cos x}\right)^\prime \, \mathrm{d}x \\ = & \tan x + \mathcal{C} \end{align}[/tex]

Legg merke til at her bruker vi bare kunnskap til kvotientregelen (brøkregelen) og de deriverte av sin og cos

[tex]\large \left( \frac{u}{v} \right)^\prime \, = \, \frac{u^\prime v \, - \, uv^\prime }{v^2}[/tex]