Avgjøre konvergens/divergens

[ambitiousnoob]

Hei!

Sitter med følgende oppgave der jeg skal avgjøre konvergens eller divergens:

[tex]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{(n+1)(n+2)}[/tex]

Edit: fant ut av summetegnet

Jeg prøvde forholdskriteriet og endte opp med 1, som ikke gir noen konklusjon. Noen som lett ser hva som er best å bruke her? Tar gjerne imot generelle tips når det gjelder å kjenne igjen hvilken metode man bør bruke i hvert tilfelle, hvis dette er mulig

[Nebuchadnezzar]

http://www.math.psu.edu/files/141series.pdf

[tex] \lim_{n \to \infty}[/tex] [tex]\Large \frac{\,a_{n+1}\,}{a_n}[/tex] [tex] = 2[/tex]

Dersom en har eksponenter eller fakulter er grensesammenlikningstesten ofte veldig grei.

[ambitiousnoob]

Den var ikke dum, takk skal du ha!

[Nebuchadnezzar]

Ellers så er det heller ikke veldig komplisert å vise at det n`te leddet går mot uendelig, slik at grensen divergerer.

(Å sjekke hva som skjer med [tex]a_n[/tex] når [tex]n \to \infty[/tex] er det alle første du bør gjøre )

[FredrikM]

Dette er et fint eksempel hvor vi kan sammenligne vekst av funksjoner.

Telleren i brøken din er en eksponentialfunksjon, og så lenge tallet man opphøyer i er større enn 1, vil alltid eksponentialfunksjoner vokse raskere enn polynomer, så spesielt vil forholdet [tex]2^n/(\text{polynom}) \to \infty[/tex].

Legg også merke til at om leddene [tex]a_n[/tex] divergerer, vil også summen divergere. Konversen gjelder ikke, dvs. om leddene konvergerer, trenger ikke summen gjøre det - selv om leddene går mot null.