Vise at uttrykk er større/mindre enn 0

[krje1980]

Hei.

Et stykke ut i en oppgave har jeg møtt veggen! Jeg har uttrykket:

[tex]2x^2 + 2y^2 -2x^4 -y^4 - 3x^2 y^2[/tex]

og skal vise at dette er større enn [tex]0[/tex] når:

[tex]x^2 + \frac{1}{2}y^2 < \frac{1}{2}[/tex]

og mindre enn [tex]0[/tex] når:

[tex]x^2 + \frac{1}{2}y^2 > 1[/tex]


Dette er som sagt en del av en større oppgave, og alt det andre har jeg fått til. Her står jeg imidlertid fast! Har forsøkt å manipulere uttrykket algebraisk for å se om jeg kan sette opp ulikheter som beviser dette, men kommer ikke noen særlig vei! Tips/hjelp settes veldig stor pris på!

[espen180]

Når jeg substituerer [tex]x^2=a-\frac12 y^2[/tex] og forenkler får jeg

[tex](1-a)y^2 + 2a - 2a^2[/tex]

Kanskje du kan bruke dette? Det er jo ganske lett å avgjøre om en parabel er positiv eller negativ for alle y.

[Gustav]

[tex]2x^2 + 2y^2 -2x^4 -y^4 - 3x^2 y^2[/tex]
og skal vise at dette er større enn [tex]0[/tex] når:
[tex]x^2 + \frac{1}{2}y^2 < \frac{1}{2}[/tex]

Bruk at uttrykket er lik [tex](x^2+y^2)(-2x^2-y^2+2)[/tex]

Da er du i mål.

PS: Triks for å finne slike faktoriseringer er å observere hva som skjer dersom [tex]x^2=-y^2[/tex]. Hint: Da blir hele uttrykket lik 0, ergo er [tex]x^2+y^2[/tex] en faktor, og det er langt lettere å finne faktoriseringen

[krje1980]

Tusen takk for hjelpen! Nå ser jeg at det stemmer. Har ikke vært borti så mange slike faktoriseringen før. Skal absolutt ta med tipsene videre til lignende oppgaver