Funksjonen til en parabel

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Moderators: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga

Post Reply
dudedude
Cauchy
Cauchy
Posts: 219
Joined: 25/08-2010 17:34

Når man skal finne fusnksjonsutrykket til en parabel med uttrykket ax^2+bx+c ved å se på en graft, hvordan bruker man a(x-x1)(x-x2) for å finne det? Hva er "a" i den fremgangsmåten? Vet at x1 og x2 er x-koordinatene til nullpunktene på grafen.
Aleks855
Rasch
Rasch
Posts: 6874
Joined: 19/03-2011 15:19
Location: Trondheim
Contact:

Jo høyere a er, jo brattere er kurven.
Image
dudedude
Cauchy
Cauchy
Posts: 219
Joined: 25/08-2010 17:34

Så a er stigningstallet? Trodde at a var skjæringen til y-asken?

Kan noen vise meg hvordan man går frem for å finne funksjonuttrykket her? (la oss si man ikke visste hva det var.)

http://bildr.no/view/1168827
dudedude
Cauchy
Cauchy
Posts: 219
Joined: 25/08-2010 17:34

Så a er stigningstallet? Trodde at a var skjæringen til y-asken?

Kan noen vise meg hvordan man går frem for å finne funksjonuttrykket her? (la oss si man ikke visste hva det var.)

http://bildr.no/view/1168827
svinepels
Descartes
Descartes
Posts: 411
Joined: 19/12-2010 22:15
Location: Oslo

Du ønsker å skrive [tex]f(x)=2x^2-10x+8[/tex] på faktorisert form, hvis jeg ikke tar feil?

Vel, det finnes flere måter å gjøre dette på. Du kan for eksempel fullføre kvadratet:

[tex]2x^2 - 10x + 8 = 2(x^2 - 5x + 4) = 2 \left( x^2 - 5x + \frac{25}{4} + 4 - \frac{25}{4} \right) = 2 \left( \left( x - \frac{5}{2} \right)^2 -\frac{9}{4} \right) [/tex]
[tex] = 2 \left(x-\frac{5}{2} + \frac{3}{2} \right) \left( x - \frac{5}{2} - \frac{3}{2} \right) = 2 \left( x - 1 \right) \left( x - 4 \right)[/tex]

Her har jeg brukt et par ulike metoder, blant annet andre kvadratsetning og konjugatsetningen. Spør hvis det er noe du ikke skjønner i utregninga.
Bachelor i matematiske fag NTNU - tredje år.
Nebuchadnezzar
Fibonacci
Fibonacci
Posts: 5648
Joined: 24/05-2009 14:16
Location: NTNU

Anbefaler deg å leke rundt i geogebra for å se det. Det enkleste jeg ville gjort er bare å finne tre punkter på parabelen din, og løse likningene

[tex]a x_1^2 + b \cdot x_1 + c = y_1[/tex]

[tex]a x_2^2 + b \cdot x_2 + c = y_2[/tex]

[tex]a x_3^2 + b \cdot x_3 + c = y_3[/tex]

Siden funksjonen din er på formen [tex]y = ax^2 + bx + c[/tex]. Og du har tre ukjente du ønsker å finne. Dersom punktene dine er [tex](0,8)[/tex] , [tex](1,0)[/tex] og [tex](4,0)[/tex] får du

[tex]a \cdot 0 + b \cdot 0 + c = 8[/tex]

[tex]a + b + c = 0[/tex]

[tex]16 a + 4 b \cdot + c = 0[/tex]

Herfra ser vi lett at c=8 fra første likning.
Videre skriver vi om nederste likning til [tex]12a + 4( a + b) \cdot + 8 = 0[/tex] og benytter oss av at [tex]a + b = -8[/tex] fra første likning. Dette gir [tex]a=2[/tex] som igjen gir at [tex]b = -10[/tex] siden [tex]a + b + 8 = 0[/tex]. Endelig vår vi at funsksjonen kan skrives som

[tex]2x^2 - 10x + 8 = 0[/tex]

Som kan faktoriseres til

[tex]2\bigl[x^2 - 5x + 4\bigr] = 2\bigl[x^2 - x - 4x + 4\bigr] = 2\bigl[ x(x-1) - 4(x-1) \bigr] = 2(x-1)(x-4)[/tex]

La oss nå anta at du klarer å finne nullpunktene til grafen, det er ikke alltid dette er mulig. ( Og da må en benytte seg av metoden ovenfor ).
Da kan vi skrive

[tex]y = a(x-n)(x-m)[/tex] som kan skrives som [tex]y = a(x-1)(x-4)[/tex]
Her kan vi bare velge oss ut en [tex]x[/tex] og en [tex]y[/tex] verdi, for eksempel [tex](0,8)[/tex]

[tex]8 = a(0-1)(0-4) \ \Rightarrow \ a = 2[/tex]
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
dudedude
Cauchy
Cauchy
Posts: 219
Joined: 25/08-2010 17:34

aha! Tusen takk for informativt svar. Denne metoden skal noteres :)
Post Reply