Tangent til en graf

[Arctagon]

Si at vi har en funksjon som er gitt ved [tex]f(x) = -\frac{x^2}{7} + 7x + \sqrt{7\pi}[/tex]. En tangent tangerer grafen til funksjonen i punktet [tex](x, f(x))[/tex], og går gjennom punktet [tex](98,46)[/tex].

Bestem likningen til tangenten.

Jeg tenkte først å løse denne med et likningsett hvor jeg setter funksjonen lik likningen til tangenten, og en likning som inneholder punktet som tangenten går gjennom, men det førte ikke fram.

[ettam]

Feil i oppgaven.

Punktet (98,46) ligger ikke på grafen!

[Aleks855]

Den skal ikke ligge på grafen. Det er tangenten som skal krysse punktet.

[Arctagon]

Noen som har forslag?

[Per Spelemann]

Man har vel følgende:

[tex] f^\prime(x) \, = \, \frac{ f(x) \, - \, 46 }{ x \, - \, 98 }[/tex]

[Arctagon]

Jeg forstår ikke hvordan du tenker.

[Nebuchadnezzar]

Tangenten til en funksjon, gjennom et punktet [tex]x_1,y_1[/tex] er gitt som.

[tex]y = a(x - x_1) + y_1[/tex]

Her har du fått oppgitt [tex]x[/tex] og [tex]y[/tex], slik at vi får.

[tex]46 = a(98 - x_1) + y_1[/tex] som er det samme som

[tex]46 = f^\prime(x) (98 - x) + f(x) \Rightarrow f^\prime(x) = \frac{f(x) - 46}{x - 98}[/tex].

Putter vi inn funksjonen og dens deriverte, og løser vår vi at

[tex]x = a = 98 \, \pm \, b [/tex]

Som endelig gir tangentene våre

[tex]y \, = \, f^\prime(a)(x \, - \, a) \, + \, f(a)[/tex]

Gjennom innsetning, og uttalige grusome forenklinger ender vi opp med tangentene

[tex]y = \left( \, \pm \, \frac{2}{7}b \, - \, 21 \right) x \, \mp \, 28 b \, + \, 2104 \ [/tex] hvor [tex] \ b = \sqrt{ 7 \left( 732 \, - \, \sqrt{7\pi\,} \right)\, }[/tex]

[Arctagon]

Jeg ser nå at jeg skrev (98,46) i stedet for (46,98), men samma det. Poenget var å finne ut av hvordan en slik oppgave løses, så jeg bare slang opp noe tilfeldig informasjon. Jeg innser nå at jeg kanskje burde vært litt mer forsiktig med hvordan jeg lagde funksjonsuttrykket, med tanke på at tallene ikke ser spesielt pene ut (unnskyld, Nebuchadnezzar!).

Jeg visste ikke at en kunne bruke ettpunktsformelen på denne måten. Å sette inn for x og y (kontra x[sub]1[/sub] og y[sub]1[/sub] når tangeringspunktet er kjent) er smart. Selv om jeg innrømmer at jeg ikke helt forstår logikken bak det, dvs. hvorfor det går an.

Jeg prøvde å sette inn i uttrykket [tex]y \, = \, f^\prime(a)(x \, - \, a) \, + \, f(a)[/tex], men jeg fikk ikke riktig likning, så det er mulig jeg slurvet. Men så så jeg at du hadde oppdatert posten med den siste biten, og det fungerte bedre. Jeg plugget det inn i GeoGebra, og det ble julaften.

Kan jeg spørre om hvordan du kom fram til det siste uttrykket, [tex]y = \left( \, \pm \, \frac{2}{7}b \, - \, 21 \right) x \, \mp \, 28 b \, + \, 2104 \ [/tex], hvor [tex] \ b = \sqrt{ 7 \left( 732 \, - \, \sqrt{7\pi\,} \right)\, }[/tex], Nebuchadnezzar? Jeg beklager om jeg spør om for mye nå, men dette er utrolig læringsrikt! :3

[Nebuchadnezzar]

Stort sett når jeg løser slike oppgaver kluser jeg litt på papir først. Får ned hovedidèn til hvordan oppgaven skal løses.

Ideen er rimelig enkel. Stigningstallet fil en funksjon er gitt som

[tex]a = \frac{y - y_1}{x - x_1} \ \Rightarrow \ y = a(x - x_1) + y_1[/tex]

Her har vi fått oppgitt [tex]x_1[/tex] og [tex]y_1[/tex], og vi ønsker å finne x. Her har vi bare en ukjent siden [tex]y_1 = f(x)[/tex] og [tex]a = f^\prime(x) [/tex].

Så sitter jeg og plotter litt i ulike matemagiske program på datamaskinen. Her ble eksempelvis både maple, wolfram alpha, og geogebra benyttet både til å sjekke svaret, og gjøre eventuelle griseregninger.

Er ikke så vanskelig å vise heller, kan la det være opp til deg som en øvelse =)

Tangentene er gitt som (Innsetning i etpunktsformelen)

[tex]y = f^\prime(98 \pm b)(x - 98 \mp b) + f(98 \mp b)[/tex]

Så er det bare å skrive ut og forenkle, ikke spesielt vanskelig.
Dog bør du legge merke til at [tex]b^2[/tex] er rotfritt og kan skrive ut for
å få noen "pene" kanseleringer. Resten er bare faktorisering.

En generalsering er å la tangeten gå igjennom punktet [tex](p,q)[/tex], via samme fremgangsmåte som før får vi da

[tex]y \, = \, \left( \pm \frac{2}{7} \sqrt{ q^2+7p-49q-7\sqrt{7\pi}\,} + 2q - 49 \right) (q - x) + p[/tex]

Men som sagt, regningen blir betraktelig lettere med penere funksjoner. Håper jeg ikke har gjort noen feil i det siste uttrykket..

[Arctagon]

Noe jeg ser jeg ikke inkluderte i forrige post: hvorfor er x = a? Jeg kom for øvrig fram til samme a som deg, bare at jeg ikke faktoriserte uttrykket under rottegnet: [tex]98 \pm \sqrt{5124 - 7\sqrt{7\pi}}[/tex]. Problemet nå er at jeg ikke husker hvordan jeg kom fram til dette uttrykket. Tror du at du kan hjelpe meg å friske opp minnet mitt litt?

Erstatter du [tex]\sqrt{7(732 - \sqrt{7\pi})}[/tex] med [tex]b[/tex] kun for å få uttrykket til å se penere ut?

Hvorfor får du [tex]\mp[/tex] i de to siste parentesene i [tex]y = f^{\prime}(98 \pm b)(x - 98 \mp b) + f(98 \mp b)[/tex]? Si at jeg tar utgangspunkt i det uttrykket. Skal vi se hva jeg får til.

[tex]y = f^{\prime}(98 \pm b)(x - 98 \mp b) + f(98 \mp b)[/tex]

[tex]= \left(- \frac{14(98 \pm b)}{49} + 7 \right)(x - 98 \mp b) - \frac{(98 \mp b)^{2}}{7} + 7(98 \mp b) + \sqrt{7\pi}[/tex]

[tex]= \left(- \frac{14(98 \pm b)}{49} + 7 \right)x + \frac{14(98 \pm b)(98 \mp b)}{49} - \frac{(98 \mp b)^{2}}{7} + 7(98 \mp b) + \sqrt{7\pi}[/tex]

Jeg jobber med leddene én og én herfra.

[tex]\left(- \frac{14(98 \pm b)}{49} + 7 \right)x = \left(- \frac{2}{7}(98 \pm b) + 7 \right)x = \left(-28 \mp \frac{2}{7}b + 7 \right)x = \left(\mp \frac{2}{7}b - 21 \right)x[/tex] (Legg merke til at det gikk fra [tex]\pm[/tex] til [tex]\mp[/tex] her. Er dette riktig? Jeg er ikke vant med å regne med ledd slik.)
_________________________________________________

[tex]\frac{14(98 \pm b)(98 \mp b)}{49} = \frac{2}{7}(98 \pm b)(98 \mp b) = \frac{2}{7}(98^{2} - b^{2}) = 2744 - \frac{2}{7}b^{2}[/tex] (Nok en gang, jeg er ikke helt sikker på om jeg regner riktig.)
_________________________________________________

[tex]- \frac{(98 \mp b)^{2}}{7} = - \frac{(98^{2} \mp 196b + b^2)}{7} = -1372 \pm 28b - \frac{1}{7}b^{2}[/tex]
_________________________________________________

[tex]7(98 \mp b) = 686 \mp 7b[/tex]
_________________________________________________

Så setter jeg alt inn i den opprinnelige likningen.

[tex]y = \left(\mp \frac{2}{7}b - 21 \right)x + 2744 - \frac{2}{7}b^{2} - 1372 \pm 28b - \frac{1}{7}b^{2} + 686 \mp 7b + \sqrt{7\pi}[/tex]

[tex]= \left(\mp \frac{2}{7}b - 21 \right)x - \frac{3}{7}b^{2} \pm 21b + 2058 + \sqrt{7\pi}[/tex]

Det tok jammen lang tid, og jammen kom jeg fram til et helt annet uttrykk. Og ja, jeg var ikke sikker på hvordan jeg skulle bruke det du sa om at [tex]b^{2}[/tex] er rotfritt.

[Nebuchadnezzar]

Skrev noe rotetete i forre innlegget mitt, beklager det. [tex]x[/tex] er ikke stigningstallet, bare en tilfeldig verdi som jeg bruker i likningen under. Jeg skriver alltid etpunktsformelen på formen

[tex]y \, = \, f^\prime(a)(x - a) \, + \, f(a)[/tex] av gammal vane.

Grunnen til vi bytter mellom [tex]\pm[/tex] og [tex]\mp[/tex] er nokså enkel og. Når den ene er positiv så skal den andre være negativ, og vica versa. Når vi setter inn får vi egentlig

[tex](x - (98 \pm b))[/tex] , men her kan vi forenkle ved å snu [tex]\pm[/tex] tegnet. Siden minus tegnet uansett snur fortegnet til [tex]b[/tex]. Slik at [tex](x - (98 \pm b)) \, = \, (x - 98 \mp b)[/tex]. Og eneste grunnen til at vi benytter oss av [tex]b[/tex], er at regningen blir betraktelig enklere.

Virker dog som du har regnet litt feil, jeg kommer frem til

[tex]\left( \pm \frac{2}{7}b \,-\, 21 ) x \,\mp\, 28b \,+\, \frac{1}{7}b^2 \,+\, 1372 \,+\, \sqrt{7\pi}[/tex]

Det jeg mente med at [tex]b^2[/tex] er rotfritt er enkelt og greit at

[tex]b^2 = 7(732 \, - \, \sqrt{7\pi})[/tex] som gir noen pene forkortninger når du setter det inn. Skal se om jeg orker å se over regningen din :p Virker som du stort sett gjør ting riktig! Flott arbeid.

Håper dette svarte på en del av det du lurte på.

EDIT: Virker som feilen din ligger her

[tex]= \left(- \frac{14(98 \pm b)}{49} + 7 \right)(x - 98 \mp b) - \frac{(98 \mp b)^{2}}{7} + 7(98 \mp b) + \sqrt{7\pi}[/tex]

[tex]= \left(- \frac{14(98 \pm b)}{49} + 7 \right)x + \frac{14(98 \pm b)(98 \mp b)}{49} - \frac{(98 \mp b)^{2}}{7} + 7(98 \mp b) + \sqrt{7\pi}[/tex]

Du glemmer å ta hensyn til [tex]-7[/tex] som står inne i parentesen når du ganger inn. Da kanseleres denne mot [tex]-7(98 \, \pm \, b)[/tex] som står lengre bak i uttrykket. Ich glaube...

[Arctagon]

Okay, jeg skjønte bare ikke helt hva du mente med [tex]x = a = 98 \pm b[/tex] litt lenger opp.

Er a stigningstallet i ettpunktsformelen på denne formen? [tex]y = f^{\prime}(a)(x - a) + f(a)[/tex]. Og kommer en fram til denne formen for ettpunktsformelen ved å gjøre det du sa i den første posten din i dette emnet om at du putter inn funksjonen og dens deriverte i [tex]46 = f^{\prime}(x)(98 - x) + f(x) \Rightarrow f^{\prime}(x) = \frac{f(x) - 46}{x - 98}[/tex], og får at [tex]x = a = 98 \pm b[/tex]? Det ser ut som du bytter ut alle x-ene med a, og at x[sub]1[/sub] og y[sub]1[/sub] blir bare x og y.

Jeg mistenkte at det var minustegnet i [tex](x - (98 \pm b))[/tex] som snudde [tex]\pm[/tex], men nå er det intet minustegn i [tex]f(a)[/tex], så jeg skjønte ikke hvorfor det likevel har det tegnet.

Sannsynligvis har jeg regnet noe feil, ja. Jeg skylder på forkjølelse og hodepine. :p

Du mener at du bruker [tex]b^{2}[/tex] i [tex]\frac{1}{7}b^{2}[/tex] i det siste uttrykket til å trekke sammen uttrykket ytterligere? I så fall, skjønner jeg hva du mener.

Jeg setter enormt stor pris på hjelpen din, og tusen takk for oppmuntrende ord!

EDIT: Jeg ser ikke helt hvor i uttrykkene du snakker om.

EDIT igjen: Jeg så litt nærmere på området du siterte, og jeg ser at jeg ikke har ganget [tex]7[/tex] med [tex](x - 98 \mp b)[/tex]. Da jeg regnet på ark glemte jeg i utgangspunktet å skrive [tex]+7[/tex] i den første parentesen. Jeg la merke til det først da jeg hadde ganget det første leddet i parentesen med leddene i den neste parentsen, så da jeg først satt inn [tex]+7[/tex], glemte jeg å gange den med den andre parentesen også.

[Nebuchadnezzar]

I etpunktsformelen er [tex]a[/tex] bare en eller annen tilfeldig valgt verdi slik at tangenten går gjennom punktet [tex](a,f(a))[/tex] kunne like gjerne skrevet tangenten som

[tex]y \,=\, f^\prime(c)(x - c) \.+\, f(c) [/tex]

og ja, ser at jeg skrev feil i et tidligere innlegg ja, det skulle være [tex]\pm[/tex] i [tex]f(a)[/tex] og ikke [tex]\mp[/tex]. Altså vi ender "selvsagt opp med"

[tex]y = f^\prime(98 \pm b)(x - 98 \mp) \, + \, f(98 \pm b)[/tex]

En rett linje, med stigningstall a er gitt som [tex]y = ax + b[/tex]. La oss nå ønske at
denne linja går igjennom punktet [tex](x_1 ,y_1)[/tex], da må vi sette inn, og finne ut hva b må være.

[tex]y_1 \, = \, a x_1 \, + \, b \ \Rightarrow \ b \, = \, y_1 \, - \, a x_1[/tex] Setter vi inn dette uttrykket for [tex]b[/tex], fås

[tex]y \, = \, ax \, + \, ( y_1 \, - \, a x_1 )[/tex]

[tex]y \, = \, a ( x \, - \, x_1 ) \, + \, y_1[/tex]

La oss nå ønske at denne linja, går igjennom en funksjon [tex]f[/tex], der [tex]x=c[/tex]. Da må linja gå igjennom punktet [tex](c,f(c))[/tex] og vi kan på samme måte finne [tex]b[/tex].
Med samme utregning som ovenfor får vi da

[tex]y \, = \, a ( x \, - \, c ) + f(c)[/tex] stigningstallet på funksjonen [tex]f[/tex] i punktet [tex]x=c[/tex], er gitt som [tex]f^\prime(c)[/tex] slik at [tex]a = f^\prime(c[/tex]) slik at vi får at tangenten til en funksjon gjennom punktet [tex](c,f(c))[/tex] kan uttrykkes som

[tex]y \, = \, f^\prime(c) ( x - c ) \, + \, f(c)[/tex].

I din oppgave har vi fått oppgitt punktet (y,x) så da bare setter vi inn og løse med tanke på [tex]c[/tex]. Altså finne ut x-verdien til hvor tangenten starter.

[Arctagon]

Da så. Det var bare jeg som forvekslet det med stigningstallet a.

Jeg føler meg litt dum som spør, men med [tex]x = c[/tex], mener du at [tex]c[/tex] er x-koordinaten til punktet på grafen til funksjonen linja skal gå gjennom, dvs. x[sub]1[/sub] i ettpunktsformelen?

Det jeg vet om ettpunktsformelen [tex]y - y_1 = a(x - x_1)[/tex] (eller [tex]y = a(x - x_1) + y_1[/tex] om du vil), er at x[sub]1[/sub] og y[sub]1[/sub] er koordinatene til punktet på grafen som tangenten tangerer i, mens a er x[sub]1[/sub] satt inn i den deriverte til funksjonen, dvs. [tex]f^{\prime}(x_1)[/tex]. Om det stemmer at det er x[sub]1[/sub] du setter til [tex]c[/tex], så henger jeg med.

[Nebuchadnezzar]

Stemmer det =)