Hei! Har tentamen i morgen, og sliter litt med en oppgave. Om noen kan hjelpe meg hadde det vært supert! ^^
Skal finne konvergensområdet til den uendelige rekka
1 + sinx + sin[sup]2[/sup]x + sin[sup]3[/sup]x ..der x ligg i intervallet [0,2 [symbol:pi] ].
Ender opp med å sette opp en fortegnslinje for (sin x + 1) (sin x -1) og får at den konvergerer for alle verdier utenom nullpunkt, og jeg ser ikke hvor feilen min ligger x)
Konvergensområdet
Moderators: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Dette er jo en geometrisk rekke [tex]k^0 + k^1 + k^2 + k^2 + \cdots[/tex] der k = sin x. Får derfor
[tex]1 + \sin x + (\sin x)^2 + (\sin x)^3 +\cdots = \frac{1}{1-k} = \frac{1}{1-\sin x}[/tex]
men dette gjelder bare dersom [tex]-1 < k < 1[/tex], altså [tex]-1 < \sin x < 1[/tex]. Siden vi vet at [tex]-1 \leq \sin x \leq 1[/tex] for alle x, trenger vi bare å bekymre oss for de x som gir [tex]\sin x = \pm 1[/tex]. Klarer du å finne disse på intervallet [tex][0,2 \pi][/tex]?
[tex]1 + \sin x + (\sin x)^2 + (\sin x)^3 +\cdots = \frac{1}{1-k} = \frac{1}{1-\sin x}[/tex]
men dette gjelder bare dersom [tex]-1 < k < 1[/tex], altså [tex]-1 < \sin x < 1[/tex]. Siden vi vet at [tex]-1 \leq \sin x \leq 1[/tex] for alle x, trenger vi bare å bekymre oss for de x som gir [tex]\sin x = \pm 1[/tex]. Klarer du å finne disse på intervallet [tex][0,2 \pi][/tex]?
Bachelor i matematiske fag NTNU - tredje år.
Det er tydelig at rekka er geometrisk med [tex]a_1 = 1[/tex] og [tex]k = \sin x[/tex]. Ettersom [tex]a_1 \neq 0[/tex] konvergerer rekka med [tex]-1 < k < 1[/tex].
[tex]-1 < k < 1[/tex]
[tex]-1 < \sin x < 1[/tex]
[tex]-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}[/tex]
Her er det lurt å kaste et blikk på oppgaveteksten igjen og se hva intervallet x ligger i er. Finner så for hvilke verdier av [tex]n[/tex] løsningsområdet er definert.
[tex]x = \frac{\pi}{2} + n \cdot 2\pi[/tex] eller [tex]x = -\frac{\pi}{2} + n \cdot 2\pi[/tex] eller [tex]x = \pi - \frac{\pi}{2} + n \cdot 2\pi[/tex] eller [tex]x = \pi + \frac{\pi}{2} + n \cdot 2\pi[/tex] (I dette tilfellet, gir de to siste x-ene de samme verdiene som de to første.)
[tex]\underline{\underline{x \in \left<\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right>}}[/tex]
EDIT: Beaten to it igjen. Fjernet også litt tekst. Kan jo være greit å komme fram til svaret selv.
EDIT igjen: La tilbake teksten.
[tex]-1 < k < 1[/tex]
[tex]-1 < \sin x < 1[/tex]
[tex]-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}[/tex]
Her er det lurt å kaste et blikk på oppgaveteksten igjen og se hva intervallet x ligger i er. Finner så for hvilke verdier av [tex]n[/tex] løsningsområdet er definert.
[tex]x = \frac{\pi}{2} + n \cdot 2\pi[/tex] eller [tex]x = -\frac{\pi}{2} + n \cdot 2\pi[/tex] eller [tex]x = \pi - \frac{\pi}{2} + n \cdot 2\pi[/tex] eller [tex]x = \pi + \frac{\pi}{2} + n \cdot 2\pi[/tex] (I dette tilfellet, gir de to siste x-ene de samme verdiene som de to første.)
[tex]\underline{\underline{x \in \left<\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right>}}[/tex]
EDIT: Beaten to it igjen. Fjernet også litt tekst. Kan jo være greit å komme fram til svaret selv.
EDIT igjen: La tilbake teksten.
Last edited by Arctagon on 07/05-2012 22:50, edited 5 times in total.
jeg går frem slik:
For at rekka skal konvergere må |k(x)| være < 1.
Dvs. at (k(x))^2 < 1
Da får jeg at:
sin[sup]2[/sup]x < 1
sin[sup]2[/sup]x - 1 < 0
(sinx -1 ) (sinx +1) <0
Når jeg sette dette inn i fortegnsskjema får jeg at rekka konvergerer for alle verdier i intervallet [0, 2 [symbol:pi] ] utenom nullpunktene. Jeg ser jo at dette er feil, men jeg vet ikke hvor feilen min ligger hen, som om noen kunne ha forklart meg hva jeg har gjort galt hadde det vært fint :) Har tentamen i morgen, og er rimelig stressa x)
For at rekka skal konvergere må |k(x)| være < 1.
Dvs. at (k(x))^2 < 1
Da får jeg at:
sin[sup]2[/sup]x < 1
sin[sup]2[/sup]x - 1 < 0
(sinx -1 ) (sinx +1) <0
Når jeg sette dette inn i fortegnsskjema får jeg at rekka konvergerer for alle verdier i intervallet [0, 2 [symbol:pi] ] utenom nullpunktene. Jeg ser jo at dette er feil, men jeg vet ikke hvor feilen min ligger hen, som om noen kunne ha forklart meg hva jeg har gjort galt hadde det vært fint :) Har tentamen i morgen, og er rimelig stressa x)
Hva legger du i at rekka konvergerer for alle verdier i intervallet utenom "nullpunktene"? Det skal gå an å løse oppgaven på din måte, selv om jeg synes måten du går fram på er snodig. Ved å bruke fortegnslinjer vil du komme fram til at x = pi/2 og x = 3pi/2 løser ligningen, var det dette du kom fram til? For det er jo riktig.
I stedet for å kvadrere begge sider av ulikheten [tex]|\sin x| < 1[/tex], er det nok lettere å følge framgangsmåten jeg foreslo noen innlegg tilbake.
I stedet for å kvadrere begge sider av ulikheten [tex]|\sin x| < 1[/tex], er det nok lettere å følge framgangsmåten jeg foreslo noen innlegg tilbake.
Bachelor i matematiske fag NTNU - tredje år.