Differensiallikninger i fysikk, Newtons andre lov

[Arctagon]

Jeg kommer visst bare over djæveloppgaver for tiden.

(Figur med kraft kv oppover og kraft mg ned.)
En mann med massen m henger i en fallskjerm. Vi legger inn en y-akse med positiv retning nedover og setter luftmotstanden lik kv, der v er farten.

a) Vis at dette fører til differensiallikningen

[tex]mg - k\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = m\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}^2t}[/tex]

Denne måte å skrive derivert på, er jeg veldig uvant med. Jeg kjenner godt til den, men jeg bruker den aldri, bortsett fra i substitusjonstilfeller. [tex]\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}[/tex] tror jeg en kan uttale som 'den deriverte av y, med hensyn på t', men det sier meg ikke så mye. Det er to forskjellige variabler, og så vidt jeg vet går det bare å derivere et uttrykk med én variabel.

Uansett, så langt har jeg kommet:

[tex]\Sigma F = ma[/tex]

[tex]mg - kv = ma[/tex]

[tex]mg - kv = mv^{\prime}[/tex]

[Vektormannen]

Du er nesten i mål da

Som du sier, dy/dt betyr den deriverte av y med hensyn på tiden. Men er ikke det farten da? Videre betyr [tex]\frac{d^2 y}{dt^2}[/tex] den dobbeltderiverte av y med hensyn på tiden. Hva blir det?

[Janhaa]

du har at hastigheten (v) er den deriverte av posisjonen (y)
og akselerasjonen (a) er den deriverte av hastigheten og at a
er den dobbelderiverte av posisjonen (y)

[Arctagon]

Som du sier, dy/dt betyr den deriverte av y med hensyn på tiden. Men er ikke det farten da?

Jeg vet at den deriverte av posisjon er fart, og at den deriverte til fart er akselerasjon. I dette tilfellet gir det mening at y er posisjonen, men det som forvirret meg var når de blandet t inn i det hele.

Edit: Ja, jeg vet at fart og akselerasjon er godt knyttet til tid, men er det den eneste grunnen til at en skriver det på denne måten? Hva vil det egentlig si å derivere med hensyn på tiden?

[Vektormannen]

Husk at når det er snakk om den deriverte av en funksjon så er det alltid med hensyn på en eller annen variabel. Når man sier at den deriverte av posisjon er fart, så mener man egentlig at den deriverte av posisjonen med hensyn på tiden er farten (altså hvor mye posisjonen endrer seg per tidsendring.) Skrivemåten [tex]\frac{dy}{dt}[/tex] er bare en annen skrivemåte som gjør det mer tydelig hvilken variabel man deriverer med hensyn på.

[Arctagon]

Ops, så ikke at du hadde svart før etter jeg hadde oppdatert posten min.

Takk for forklaringen! Det føles godt å kjenne at sin egen kunnskap innenfor området er utvidet.

Når en skal derivere et uttrykk som inneholder x, for eksempel [tex]2x + 3[/tex], er det riktig å skrive det som [tex]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \, 2x + 3[/tex]? Det at det står 'med hensyn på x' viser vel at det er den variabelen uttrykket inneholder, gjør det ikke? Kunne det for eksempel stått [tex]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y} \, 2x + 3[/tex]?

[Vektormannen]

Ja, det kunne stått det. Det ville da blitt lik 0 (hvis ikke x hadde vært en funksjon av y da )

I denne oppgaven hadde det f.eks. vært oppklarende av de som har laget oppgaven å skrive den deriverte på denne måten. Da hadde man med en gang visst hva som var variabelen i ligningen.

[Arctagon]

Ah, jeg tror jeg skjønner det nå. Det gir mening. Takk for hjelpen!