Ordproblem med differensiallikning av første orden

[Arctagon]

Jeg merker at jeg nesten bare har postet emner om differensiallikninger av første orden i det siste. Det gir ikke så godt inntrykk. x:

En smertestillende medisin brytes ned i kroppen med en halveringstid på to timer. Vi lar [tex]y = y(t)[/tex] være medisinmengden i kroppen (målt i milligram) etter t timer. Da er y en løsning til differensiallikningen [tex]y^{\prime} = ky[/tex], der k er en konstant.

For det første, så lurer jeg på noe angående difflikningen [tex]y^{\prime} + ay = b[/tex], som har løsning [tex]y = \frac{b}{a} + Ce^{-ax}[/tex]. Må leddet [tex]ay[/tex] være positivt? Læreren jeg hadde mens vi lærte om difflikninger av første orden (vet ikke helt hva opplegget var, men han skulle prøve seg på å være lærer eller noe) sa at dette var tilfelle, men jeg har både erfart og sett ting som tyder på det motsatte. Grunnen til at jeg spør er at det hadde gått mye raskere å løse oppgave a) om a-leddet kan være både negativt og positivt.

a) Løs differensiallikningen og vis at [tex]k = -\frac{\ln 2}{2}[/tex]

[tex]y^{\prime} = ky[/tex]

[tex]\int \frac{1}{y} \, \mathrm{d}y = \int k \, \mathrm{d}x[/tex]

[tex]\ln |y| = kt + C[/tex]

[tex]e^{\ln |y|} = e^{kt + C}[/tex]

[tex]y = e^{kt} \cdot e^C[/tex]

[tex]\underline{\underline{y = Ce^{kt}}}[/tex]

Her sier fasiten [tex]y = C \cdot e^{kt} = C\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{2}}[/tex]. Jeg skjønner ikke hvorfor de gjør om det siste produktet om til det der--det ser jo ikke akkurat penere ut.

Videre:

[tex]y(0) = 2y(2)[/tex]

[tex]Ce^{k0} = 2Ce^{k2}[/tex]

[tex]1 = 2e^{k2}[/tex]

[tex]\ln{\left(\frac{1}{2}\right)} = \ln{(e^{k2})}[/tex]

[tex]-\ln 2 = k2[/tex]

[tex]\underline{\underline{k = -\frac{\ln 2}{2} \qquad , \qquad \tex{Q.E.D.!}}}[/tex]


Så står det: En pasient får kontinuerlig tilførsel av denne medisinen. Dosen er 3 mg per time. Vi lar nå [tex]y = y(t)[/tex] være medisinmengden i kroppen etter t timer.

b) Forklar hvorfor

[tex]y^{\prime} = ky + 3[/tex] der [tex]k = -\frac{\ln 2}{2}[/tex]

Det kan da umulig være så enkelt som å si at det blir lagt til 3 mg hver time, dermed +3?


c) Løs differensiallikningen i b.

Her antok jeg bare at det jeg spurte om i begynnelsen i emnet fungerer, for jeg så ingen andre måter å løse den på. Det blir svar som i fasiten.

[tex]y^{\prime} = ky + 3[/tex]

[tex]y^{\prime} - ky = 3[/tex]

[tex]\underline{\underline{y = -\frac{3}{k} + Ce^{kt}}}[/tex] der [tex]k = -\frac{\ln 2}{2}[/tex]

I fasiten står det [tex]y = \frac{3}{k} + Ce^{kt} = \frac{6}{\ln 2} + C\frac{1}{2}^{\frac{t}{2}}[/tex]. Igjen skjønne jeg ikke hvorfor de så absolutt skal omforme det.


Si at jeg faktisk omformer det, da. Jeg kommer til å trenge det i neste oppgave. Men jeg greier ikke å komme meg helt fram.

[tex]e^{kt}[/tex]

Setter inn [tex]k = -\frac{\ln 2}{2}[/tex].

[tex]e^{-\frac{\ln 2}{2}t} = e^{\frac{\ln{\left(\frac{1}{2}\right)}}{2}t} = e^{\ln{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot e^{\ln{\left(\frac{t}{2}\right)}}[/tex]

Så sitter jeg fast.

Jeg beklager hvis jeg skriver altfor mye. I så fall, skal jeg prøve å korte ned.

[Nebuchadnezzar]

a) [tex]y^\prime + ay = b [/tex]

Du kan jo bare prøve å løse denne når a er negativ, du får det samme.
For eksempel er det bare å bytte ut a med [tex](-c)[/tex] for eksempel.
Dog husker jeg aldri slike formler, jeg bare bruker integrerende faktor.
Sa ja, funker

Den omskrivningen de gjør, akn de bare gjøre når de vet at [tex]k = - \frac{1}{2} \ln 2 = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{1}{2} \right) =\ln \left( \left( \frac{1}{2}\right)^{1/2} \right) [/tex]. Siden [tex]e^{\ln a } = a[/tex] blir løsningen [tex] C e^{kt} = C e^{t \ln \left( \left( \frac{1}{2}\right)^{1/2} \right)} = C \left( \frac{1}{2}\right)^{t/2}[/tex]

Grunnen til at en gjør denne omskrivningen er som sagt for å lettere se halveringstiden. Om jeg spør hvor mye medisin er det igjen etter [tex]4[/tex] halveringer, blir det litt kinky og bruke [tex]e[/tex]. Og antar litt av grunnen til det er at du skal lære deg å håndtere logaritmer! (Ikke for å være slem, men virker som du har godt av det.)

b) Det er riktig det du sier med å bare legge til [tex]3[/tex] ja, siden [tex]y^prime [/tex] gir forandringen. Så blir jo forandringen [tex]3[/tex] miligram,

c) Bruk integrerende faktor

Bruk omformingene jeg viste før =)

[Arctagon]

Du kan jo bare prøve å løse denne når a er negativ, du får det samme.
For eksempel er det bare å bytte ut a med [tex](-c)[/tex] for eksempel.

Dette er et tegn på at jeg har blitt så vant til å bruke forumet i det siste, at veien til å spørre framfor å prøve ut ting som dette selv har blitt kortere. Jeg beklager.

Dog husker jeg aldri slike formler, jeg bare bruker integrerende faktor.

Jeg har en tendens til å huske slike ting bare ved å se på det én gang. Når jeg vel husker den, kan jeg like gjerne bruke den der det passer. :p

[tex]k = - \frac{1}{2} \ln 2 = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{1}{2} \right) =\ln \left( \left( \frac{1}{2}\right)^{1/2} \right) [/tex].
[tex] C e^{kt} = C e^{t \ln \left( \left( \frac{1}{2}\right)^{1/2} \right)} = C \left( \frac{1}{2}\right)^{t/2}[/tex]

*facepalm* Av alle reglene som fins, så var det den jeg glemte!? Og jeg som trodde jeg begynte å bli kompetent innenfor området...

Grunnen til at en gjør denne omskrivningen er som sagt for å lettere se halveringstiden. Om jeg spør hvor mye medisin er det igjen etter [tex]4[/tex] halveringer, blir det litt kinky og bruke [tex]e[/tex].

Når du sier det, så husker jeg at det er mer vanlig å skrive det på den måten når det gjelder halveringstid.

Og antar litt av grunnen til det er at du skal lære deg å håndtere logaritmer! (Ikke for å være slem, men virker som du har godt av det.)

Det er synd å se hva samfunnet har blitt til. At det skal være nødvendig å skrive 'ikke for å være slem' før en slik påstand er bare tull, men dessverre er det nødvendig, da gjennomsnittsperson tar seg nær av slike utsagn, og det er tragisk. Jeg, på den annen side, er bare takknemlig når noen sier noe sånt--det er jo konstruktivt! Sånn, da var den ranten sluppet ut i det fri. Men, hva er det du egentlig sikter til når du sier det? Tenker du på det jeg gjorde her?

[tex]e^{-\frac{\ln 2}{2}t} = e^{\frac{\ln{\left(\frac{1}{2}\right)}}{2}t} = e^{\ln{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot e^{\ln{\left(\frac{t}{2}\right)}}}[/tex]

I så fall, frykt ikke. Som jeg sa, jeg tenkte ikke på at jeg kunne bruke den regelen der. Det har sannsynligvis noe å gjøre med hvordan faktorene er plassert i forhold til hverandre. Sånt skjer med alle.

b) Det er riktig det du sier med å bare legge til [tex]3[/tex] ja, siden [tex]y^prime [/tex] gir forandringen. Så blir jo forandringen [tex]3[/tex] miligram,

Da skjønner jeg ikke hvorfor de lagde en så lett deloppgave, når den er så drabelig innlysende. Den har ikke noe i oppgaven å gjøre.

[Nebuchadnezzar]

Du minner meg om meg selv i mine yngre dager, stå på med matten. Det kommer helt sikkert til å gå bra med deg =)

Du kan jo titte på noen av mine første innlegg her, er mye flaut der, men kanskje du kjenner deg litt igjen ? :p

Når lærere lager oppgaver vil de gjerne teste ut uliek ting, noen oppgaver kan virke lette bare fordi en kan det. Vet du hva en differensiallikning er er slike ting "innlysende", men om du bare pugger formler kan en fort bli usikker.

Så mente jeg å huske elementære logaritmeregler, jeg tror jeg bare husker på 2-3 [tex]\log_c( ab ) = \log_c(a) + \log_c(b)[/tex] og [tex]\log_c(c^b)=b \log_c(c) = b[/tex]

[Arctagon]

Du minner meg om meg selv i mine yngre dager, stå på med matten. Det kommer helt sikkert til å gå bra med deg =)

Jeg tar det som et kompliment. :p Og takk.

Du kan jo titte på noen av mine første innlegg her, er mye flaut der, men kanskje du kjenner deg litt igjen ? :p

Jeg ser noen fellestrekk, ja. Artig.

Så mente jeg å huske elementære logaritmeregler, jeg tror jeg bare husker på 2-3 [tex]\log_c( ab ) = \log_c(a) + \log_c(b)[/tex] og [tex]\log_c(c^b)=b \log_c(c) = b[/tex]

Også har vi
[tex]\log_c\left(\frac{a}{b}\right) = \log_c(a) - \log_c(b)[/tex],

[tex]c^{\log_c(a)} = a[/tex] og

[tex]\log_c(x^a) = a\log_c(x)[/tex],

hvor sistnevnte er en du indirekte nevnte i den siste i posten din.