------------------------------------------------------------En flue har rotet seg inn i et kryss og surrer forvirret rundt mellom 5 ulike områder
Vi antar flua flyr fra et omrdet til et annet hvert sekund. Om fluen befinner seg i midten vil den velge blindt mellom hvert av de fire områdene og dra dit. Derimot om den står i området 1,2,3,4 eller 5, vil den dra inn i midten med sannsynlighet 1.Code: Select all
| 1 | | 2 | 3 | 4 | | 5 |
a) Skriv opp Markov-Matrise M som beskriver denne prossesen.
-----------------------------------------------------------
Her fant jeg ut at
[tex]\begin{bmatrix}0 & 0 & 0.25 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0.25 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0.00 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0.25 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0.25 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}[/tex]
HATER AT DEN IKKE STØTTER MELLOMROM
Som jeg antar blir riktig. Siden ikke alle leddene i matrisen er positiv så er ikke [tex]M[/tex] regulær.
-------------------------------------------------------------------
b) Bestem nulliteten til [tex]M[/tex], begrunn hvorfor [tex]M[/tex] er diagonaliserbar og vis at [tex]M^3 = M[/tex]
-------------------------------------------------------------------
Her sliter jeg litt mer, jeg ser at om vi utfører en ekstremt enkel gauss elliminasjon ender vi opp med bare 2 rader som er lineært uavhengige. Derfor burde nulliteten være
[tex]\text{rank}(M) + \text{null}(M) = n[/tex] som gir at [tex]null(M) = 5 - 2 = 3 [/tex] Riktig?
Videre så lurer jeg på hvorfor matrisen er diagonaliserbar? Jeg ser selvsagt at M er kvadratisk og har 3 ulike egenverdier, men må ikke M også være reguleær? Og det er den på langt nær.
Holder det å skrive at [tex]M^3 = M[/tex] pga at siden M er diagonaliserbar (som jeg ikke helt forstår) Så kan vi skrive
[tex]M^3 = P^{-1} D^{3} P = P^{-1} D P[/tex]
Siden [tex]1^3 = 1 \ , \ (-1)^3[/tex] og [tex]0^3 = 0[/tex]
-------------------------------------------------------------
c) Hva blir fordelingen av fluer påde fem områdene etter 1001 sekunder ([tex]t=1001[/tex]) ?
-------------------------------------------------------------
Trodde matrisen måtte være reguleær (positiv) for at jeg skulle kunne løse dette jeg. Tror det er noe jeg må ha missforstått her.
