matematikk.net

En flue har rotet seg inn i et kryss og surrer forvirret rundt mellom 5 ulike områder

Code: Select all

    | 1 |
| 2 | 3 | 4 |
    | 5 | 

Vi antar flua flyr fra et omrdet til et annet hvert sekund. Om fluen befinner seg i midten vil den velge blindt mellom hvert av de fire områdene og dra dit. Derimot om den står i området 1,2,3,4 eller 5, vil den dra inn i midten med sannsynlighet 1.

------------------------------------------------------------
a) Skriv opp Markov-Matrise M som beskriver denne prossesen.
-----------------------------------------------------------

Her fant jeg ut at

[tex]\begin{bmatrix}0 & 0 & 0.25 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0.25 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0.00 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0.25 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0.25 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}[/tex]

HATER AT DEN IKKE STØTTER MELLOMROM

Som jeg antar blir riktig. Siden ikke alle leddene i matrisen er positiv så er ikke [tex]M[/tex] regulær.

-------------------------------------------------------------------
b) Bestem nulliteten til [tex]M[/tex], begrunn hvorfor [tex]M[/tex] er diagonaliserbar og vis at [tex]M^3 = M[/tex]
-------------------------------------------------------------------

Her sliter jeg litt mer, jeg ser at om vi utfører en ekstremt enkel gauss elliminasjon ender vi opp med bare 2 rader som er lineært uavhengige. Derfor burde nulliteten være

[tex]\text{rank}(M) + \text{null}(M) = n[/tex] som gir at [tex]null(M) = 5 - 2 = 3 [/tex] Riktig?

Videre så lurer jeg på hvorfor matrisen er diagonaliserbar? Jeg ser selvsagt at M er kvadratisk og har 3 ulike egenverdier, men må ikke M også være reguleær? Og det er den på langt nær.

Holder det å skrive at [tex]M^3 = M[/tex] pga at siden M er diagonaliserbar (som jeg ikke helt forstår) Så kan vi skrive

[tex]M^3 = P^{-1} D^{3} P = P^{-1} D P[/tex]

Siden [tex]1^3 = 1 \ , \ (-1)^3[/tex] og [tex]0^3 = 0[/tex]

-------------------------------------------------------------
c) Hva blir fordelingen av fluer påde fem områdene etter 1001 sekunder ([tex]t=1001[/tex]) ?
-------------------------------------------------------------

Trodde matrisen måtte være reguleær (positiv) for at jeg skulle kunne løse dette jeg. Tror det er noe jeg må ha missforstått her.

Jeg trodde en nxn-matrise var diagonaliserbar hvis den hadde n egenverdier?

Aleks855 wrote:Jeg trodde en nxn-matrise var diagonaliserbar hvis den hadde n egenverdier?

Nei, en n x n matrise er diagonaliserbar hviss den har n lineært uavhengige egenvektorer. Det er helt rett frem å først finne egenvektorene og deretter vise at de er l.u.a.