Bestemme differensiallikning ved rekkeutvikling

[Nebuchadnezzar]

Har problemer med følgende oppgave

Oppgave 6 Lay være løsningen til følgende initalproblemet

[tex]y^{\prime\prime} \, - \, xy \, = \, 0\,,\qquad \ \ y(0) = y^\prime(0) = 1[/tex]

a) Finn andregrads taylorpolynomet om [tex]x=0 [/tex]til løsningen [tex]y(x)[/tex]

b) Finn de syv første leddee i taylorrekken om[tex] x=0[/tex] til løsningen. Finn dereter konvergeringsområdet til denne rekken.

Sliter egentlig med a og b, skal jeg anta at

[tex]y(x) = \sum_{n=1}^\infty ax^2 + bx + c[/tex]

Eller skal jeg gjøre noe helt annet? Forstår egentlig ikke helt hvor jeg skal begynne.

[Vektormannen]

a) Du kan enkelt finne de nødvendige koeffisientene i rekken (y(0), y'(0) og y''(0)).

b) Du kan fortsette å finne koeffisienter ved å derivere ligningen gjentatte ganger (tror jeg), eventuelt kan du lage deg en generell potensrekke [tex]\sum_{n = 1}^\infty a_n x^n[/tex] og sette denne inn i ligningen og bestemme en sammenheng mellom koeffisientene på den måten.

[Nebuchadnezzar]

Hmm... ???

[tex]\begin{array}{l l}y(0+x) & = y(0) + y^\prime(0)x + \frac{1}{2}y^{\prime\prime}(0)x^2 \\ y(x) & = 1 + x + 0 \end{array}[/tex]

siden [tex]y^{\prime\prime}(0) = 0[/tex]

[Vektormannen]

Ja, jeg tror det må bli slik? y(x) = 1+x mener du vel.

[Nebuchadnezzar]

Dette er gresk, Hmm...

Så nå trenger jeg å finne de siste koeffisientene. Hvorfor sier du at løsningen kan skrives på formen

[tex]y(x) = \sum_{n=1}^\infty a_n x^n[/tex] ? Eller er dette bare en metode som gir en god tilnærming til differensiallikningen?

Så jeg ønsker de videre deriverte, kan jeg da bare derivere in opprinnelig likning slik at jeg får

[tex]y^{\prime\prime\prime}(x) - y^{\prime}(x) = 0[/tex] så [tex]y^{\prime\prime\prime}(0) = 1[/tex] ?

[Audunss]

Du har likningen [tex]y^{(2)}(x)=xy,y(0)=y^{(1)}(x)(0)=1[/tex]

Taylorpolynomet av grad 2 til en funksjon, rundt et punkt a, er gitt ved:

[tex]y(x)=y(a)+y^{(1)}(x)(a)(x-a)+\frax{1}{2}y^{(2)}(x)(a)(x-a)^2 [/tex]

Som du har fått, når du putter inn x=0, og bruker startverdiene dine

[tex]y(x)=1+x[/tex]

Så skal du finne høyeregrads taylorpolynom, og da må du derivere videre, med hensyn på x.

[tex]y^{(3)}(x)=(y^{(2)}(x)(x))^{\prime}=(x*y(x))^{\prime}=y(x)+x*y^{\prime}(x)[/tex]

[tex]y^{(3)}(0)=y(0)=1[/tex]

Samme for 4 ganger derivert

[tex]y^{(4)}(x)=(y(x)+x*y^{\prime}(x))^{\prime}=y^{\prime}+y^{\prime}+xy^{\prime\prime}=2y^{\prime}+xy^{\prime\prime}[/tex]
[tex]y^{(4)}(0)=2[/tex]

osv, du må huske å derivere med hensyn på x'en også.

PS: beklager rotete nasjon på derivert ^(n) er også derivert.

[Audunss]

Du har likningen [tex]y^{(2)}(x)=xy,y(0)=y^{(1)}(x)(0)=1[/tex]

Taylorpolynomet av grad 2 til en funksjon, rundt et punkt a, er gitt ved:

[tex]y(x)=y(a)+y^{(1)}(x)(a)(x-a)+\frax{1}{2}y^{(2)}(x)(a)(x-a)^2 [/tex]

Som du har fått, når du putter inn x=0, og bruker startverdiene dine

[tex]y(x)=1+x[/tex]

Så skal du finne høyeregrads taylorpolynom, og da må du derivere videre, med hensyn på x.

[tex]y^{(3)}(x)=(y^{(2)}(x)(x))^{\prime}=(x*y(x))^{\prime}=y(x)+x*y^{\prime}(x)[/tex]

[tex]y^{(3)}(0)=y(0)=1[/tex]

Samme for 4 ganger derivert

[tex]y^{(4)}(x)=(y(x)+x*y^{\prime}(x))^{\prime}=y^{\prime}+y^{\prime}+xy^{\prime\prime}=2y^{\prime}+xy^{\prime\prime}[/tex]
[tex]y^{(4)}(0)=2[/tex]

osv, du må huske å derivere med hensyn på x'en også.

PS: beklager rotete nasjon på derivert ^(n) er også derivert.