Delbrøkoppspalting - Feil fortegn?

[zakka993]

Hei,

Jeg har litt problemer med å løse denne oppgaven (7.251 b i cosinus):

[symbol:integral] (x+2)/(2x-x^2) dx

Jeg får svaret: 2ln|2-x| + ln|x| + C, mens fasiten sier: ln|x| - 2ln|2-x| + C.
Jeg lurer på om det er faktoriseringen min som er feil ((x+2)/((2-x)x)), for jeg lurer på om jeg må ha minus forann integralet.. men i denne oppgaven får jeg det ikke til å stemme, da jeg får A=2 og B=1, som i såfall ville gjort begge ledd i svaret mitt negativt:/ Også tenkte jeg at om jeg må ha minus forann, må ikke også faktoriseringen min bli: (x+2)/((x-2)x), men igjen så stemmer ikke det i forhold til fasiten..

Det hadde vært veldig koselig med litt hjelp=)

[2357]

Jeg gidder ikke å regne ut delbrøksoppspaltingen, men jeg vil tippe at du integrerte [tex]\frac{2}{2-x}[/tex] og glemte at når du bruker [tex]2-x[/tex] som kjerne, må du dele på den deriverte som er -1.

[zakka993]

Har jeg forstått deg riktig om du bruker substitusjon på [tex]\frac{2}{2-x}[/tex], og da setter [tex]u={2-x}[/tex], som gir [tex]\frac{du}{dx}=-1[/tex] og videre får vi at [tex]du=-dx[/tex]

Dette gir så [tex]-2[/tex] [symbol:integral] [tex]\frac{1}{u} {du}[/tex] [tex] = -2ln|2-x|[/tex] ?

Som da vil bli riktig?=)

[Aleks855]

Det er rett, men det er vel bare det ene leddet.

Delbrøkoppspalting gir [tex]\frac{x+2}{2x-x^2} \ = \ \frac{3}{2x-x^2} \ - \ \frac{2-2x}{4x-2x^2}[/tex]

[tex]\int (\frac{3}{2x-x^2} \ - \ \frac{2-2x}{4x-2x^2}) dx \ = \ \ln x - 2\ln |2-x|[/tex]

[zakka993]

Flott.. har faktisk aldri tenkt på at man substituerer i det tilfellet, husker bare at læreren sa at [tex]\int \frac{1}{u} \ dx = ln|u|[/tex], så har bare fulgt det.. så takk for oppklaringen!:D

Jo, eller tenkte du på det andre leddet som ble: [tex]\int \frac{1}{x} du = ln|x|[/tex], som da sammen med integralet i min forrige post gir svaret: [tex]\int \frac{x+2}{2x-x^2} \ dx \ = \ \ln x - 2\ln |2-x| + C[/tex]

Men må si at jeg aldri har sett noe lignende det du gjorde over.. hvordan kom du fram til det?

[Nebuchadnezzar]

[tex]\frac{x+2}{2x-x^2} \,=\, \frac{x+2}{x(2-x)} \,=\, \frac{2x + 2 - x}{x(2-x)} \,=\, \frac{2x}{x(2-x)} \,+\, \frac{2 - x}{x(2-x)} \,=\, -\frac{2}{x-2} \,+\, \frac{1}{x}[/tex]

[zakka993]

Nebuchadnezzar, har ikke sett denne metoden før heller..

[tex] \frac{x+2}{x(2-x)} \,=\, \frac{2x + 2 - x}{x(2-x)} [/tex]

Skjønte det meste, men er litt usikker på det i sitatet ditt over.. har jeg forstått det riktig om jeg fo eksempel skriver det sånn her i stedenfor?: [tex] \frac{3x+2}{x(2-x)} \ = \ \frac{6x + 2 - 3x}{x(2-x)} [/tex]

Men vil ikke [tex]\int -\frac{2}{x-2} \ dx \ = \ -ln|x-2|[/tex] og ikke [tex] -ln|2-x| \ ? \[/tex] Eller har ikke det noe å si kanskje?

[2357]

Nebuchadnezzar, har ikke sett denne metoden før heller..

[tex] \frac{x+2}{x(2-x)} \,=\, \frac{2x + 2 - x}{x(2-x)} [/tex]

Du har kanskje sett teknikken med å legge til og trekke fra det samme når du skal lage et fullstendig kvadrat. Uansett er det en veldig vanlig og nyttig teknikk i delbrøksoppspatling; det forenkler en del polynomdivisjon og ofte ønsker man å snike inn den deriverte av nevneren inn i telleren. Eksempelet ditt er helt riktig.

Men vil ikke [tex]\int -\frac{2}{x-2} \ dx \ = \ - \ln|x-2|[/tex] og ikke [tex] -\ln|2-x| \ ? \[/tex] Eller har ikke det noe å si kanskje?

Så lenge du har absoluttverditegnene der gjelder |2 - x| = |x - 2|.

[zakka993]

Aha! Da tror jeg at jeg skjønte det! Javisst, for den deriverte av nevneren er her, -2x + 2, som vi da bruker i telleren... men har det minustegnet noe å si da, siden vi ikke sniker det inn?

Absoluttverdi, selvsagt:) Det er sånt jeg glemmer når jeg blir forvirret av andre småting... tusen takk!