Integrasjon

[malef]

Finn det ubestemte integralet

[tex]\int{\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x-1}\right)dx}[/tex]

Svaret skal bli [tex]\ln |x^2-1|+C[/tex]

Det nærmeste jeg kommer ved prøving og feiling, er:

[tex]\int{\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x-1}\right)dx}=\int{\left(\frac{x-1}{x^2-1}+\frac{x+1}{x^2-1}\right)dx}=\int{}\left(\frac{2x}{x^2-1}\right)=2x\ln|x^2-1|+C[/tex]

Hvor ligger feilen(e)?

[Hoksalon]

Du kan integrere ledd for ledd.

[Hoksalon]

Du kan integrere ledd for ledd.

[Arctagon]

Prøvd integrasjon vel delbrøkoppspalting?

[Vektormannen]

Feilen ligger i overgangen ved siste likhetstegn. Jeg vet ikke hva du har tenkt her, men du kan ikke bare la 2x stå og så integrere brøken. Det er heller ikke slik at integralet av den brøken er [tex]\ln|x^2 - 1|[/tex] (edit: når vi ser vekk fra 2x altså. Totalt sett er integralet av brøken [tex]\ln|x^2 - 1|[/tex].)

Det du bør gjøre her er å benytte deg av at integralet er lineært, dvs. at man kan dele opp integralet av en sum til en sum av integralene av hvert ledd. Da får du her [tex]\int \frac{1}{x+1} dx + \int \frac{1}{x-1} dx[/tex]. Så må du huske på at integrasjon er "omvendt" derivasjon. Er du da med på at integralet av [tex]\frac{1}{x+1}[/tex] må være [tex]\ln|x+1|[/tex]? (Tenk på kjerneregelen når man deriverer ln(x+1).)

[malef]

Det jeg prøvde først, var integrasjon ledd for ledd, som ga [tex]\ln |x+1| \cdot \frac{1}{1} + \ln |x-1| \cdot \frac{1}{1} = \ln|x+1|+\ln|x-1|+C[/tex]

Ser visst ikke lyset her

[Vektormannen]

Husk på at

[tex]\ln a + \ln b = \ln(ab)[/tex]

(og [tex]|a| |b| = |ab|[/tex].)

[malef]

Selvsagt! Da ser jeg lyset likevel Tusen takk!

[2357]

For fullstendighetens skyld:

[tex]\int \frac{2x}{x^2-1} \mathrm{d}x[/tex]

Substituerer med nevneren som kjerne.

[tex]u = x^2 - 1 \, \Leftrightarrow \, \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = 2x[/tex]

Det gir

[tex]\int \frac{2x}{x^2-1} \mathrm{d}x = \int \frac{1}{u} \mathrm{d}u = \ln|u| + C = \ln|x^2-1| + C[/tex]

[Vektormannen]

Flott

Hvis du nettopp har begynt på R2 så kan det kanskje være lurt å starte helt fra starten av med integrasjon? De fleste bøker starter vel ikke rett på å integrere logaritmefunksjonen?

[malef]

Neida, jeg følger boken, og dette er tredje delkapittel. Rotet det til litt her, så jeg skjønner jo at du lurer ...

[Vektormannen]

Hehe, det kommer seg nok når du får løst noen oppgaver og lar det synke litt inn. Kjøpte du ikke boken rett før helgen forresten?

[malef]

Kjøpte boken fredag ettermiddag, så det har ikke blitt så mye synking ennå

Planen er å regne meg gjennom R2 i løpet av sommeren, slik at høsten kan brukes til repetisjon av R1 og R2. Greier jeg det, tror jeg at jeg kan se meg tilbake og si at jeg har lært en hel del rundt juletider

[mikki155]

Jeg vet ikke hvilke kapitler du har gått igjennom, malef, men jeg vil anbefale kapittel 6 (i Sinus-boka) om følger og rekker. Det er et veeeldig greit kapittel du kan kjøre raskt gjennom