Hvordan vise at denne kurva krummer slik den gjør?Belønning

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Byremo
Noether
Noether
Posts: 36
Joined: 01/07-2012 14:27

Hei

Mitt første innlegg her... :D
Er noe nysgjerrig på fremgangsmåten for å vise at kurva (produksjonsmulighetskurva - PMK) er konkav. Har selv klart å vise at den heller nedover med god hjelp fra foreleser (hadde henne i et kurs i differensiallikninger), men verken jeg eller hun klarer å vise at den krummer slik den gjør (hun klarte ikke å ta det på sparket). Kan ikke bruke vanlig brøkregel da det ene er avhengiga av det andre. Ser dessverre for meg et sluttuttrykk fra "granskogen". :?

Incentivordning: 10 NOK til den som klarer å vise og forklare hvordan han/hun har gått frem.

Symbolliste:
x1=antall produserte enheter av vare 1
x2=antall produserte enheter av vare 2
N=sum enheter arbeidsinnsats
n1=antall enheter arbeidsinnsats brukt i produksjon av vare 1
n2=antall enheter arbeidsinnsats brukt i produksjon av vare 2
K= sum enheter realkapital
k1=antall enheter realkapital brukt i9 produksjonen av vare 1
k2=antall enheter realkapital brukt i9 produksjonen av vare 2

Begge innsatsfaktorene er variable. Nedenfor vises det 2 produktfunksjoner og 2 betingelser som må være innfridd. At kurva heller nedover er avhengig av premissene, hvor hver av de partielltderiverte er positive (og konkave).

Image

Hadde vært svært interessant å se hvordan man kan vise at kurva er konkav, noe som i x1-x2 diagramet betyr at det må gis opp mer og mer av x2 jo mindre man har av denne for å produsere mer av x1. Kommer av at ressursene tas i bruk på en mindre effektiv måte.
Byremo
Noether
Noether
Posts: 36
Joined: 01/07-2012 14:27

Jeg har ovenfor vist at helninga er negativ. :oops:
Er det noen som klarer å vise at kurva er konkav? :idea:
malef
Grothendieck
Grothendieck
Posts: 809
Joined: 28/11-2007 16:24

Jeg kan dessverre ikke hjelpe deg med kurven, men du som økonomistudent setter du sikkert pris på hjelp når det gjelder incentivordninger også? Hvis du først ønsker å betale for folks tid, er 10 NOK selvsagt en hån (mulig det er ment humoristisk, men det er ikke alltid så lett å forstå). Det fins andre belønningsmekanismer enn penger. F.eks.utsikten til å lære noe selv eller gleden over å kunne hjelpe andre.

For meg ser dette ut som en beskrivelse fra en lærebok, som presentereres løsrevet fra konteksten den står i. Om du setter opp et konkret stykke på en skikkelig måte, kanskje aller helst med tall, og dropper incentivordningen din (eller øker belønningen til det du anslår en lærertimelønn til), tror jeg sjansen for å få hjelp er større :)
Byremo
Noether
Noether
Posts: 36
Joined: 01/07-2012 14:27

Det stemmer at problemet kommer fra en lærebok, men læreboka tar kun for seg dette problemet verbalt uten noen form for supplering/støtte i en matematisk/analytisk utledning. Boka argumenterer kun verbalt for hvorfor kurva må være konkav. Selv synes jeg boka er særs dårlig til tross for at den er skrevet av en anerkjent professor.

Godt mulig jeg skyter meg selv i foten nå, men jeg tror ikke det er noen her inne på forumet som vil klare denne.
Aleks855
Rasch
Rasch
Posts: 6874
Joined: 19/03-2011 15:19
Location: Trondheim
Contact:

Jeg har sett problemer med vesentlig høyere vanskelighetsgrad bli løst her på forumet, så jeg tar et skudd mot foten din jeg, hvis du bommer.

Økonomi er dessverre et felt man ikke ser så ofte her, så enten har vi ikke noen som er utdannet i akkurat det feltet, eller så kan det være at de som nailer oppgaven er på ferie. Eventuelt kan det hende at du bør bruke et dataprogram for å fullføre utregningen, med tanke på hvor arbitrær den er.
Image
Gustav
Tyrann
Tyrann
Posts: 4563
Joined: 12/12-2008 12:44

Det er nødt til å være flere føringer for de partiellderiverte av [tex]x_i[/tex] mhp [tex]n_i[/tex] og [tex]k_i[/tex] opp til andre orden. Med kun de oppgitte premissene gjelder ikke konkaviteten generelt.

Dersom f.eks. [tex]\frac{\partial^2 x_i}{(\partial n_i)^2}[/tex], [tex]\frac{\partial^2 x_i}{(\partial k_i)^2}[/tex] og [tex]\frac{\partial^2 x_i}{\partial n_i\partial k_i}[/tex] alle er negative i tillegg til de oppgitte premissene dine, er det lett å vise at [tex]\frac{d^2x_2}{(dx_1)^2}[/tex] er negativ.

Uten at jeg har sett nærmere på problemet, er dette tilstrekkelige betingelser, men det er godt mulig(?) at man bare behøver å forutsette at Hessematrisen er negativ definitt, altså at [tex]x_i(n_i,k_i)[/tex] er konkave funksjoner av to variable.

EDIT: jeg så først nå i etterkant at du skriver at x-ene er konkave i tillegg til at de deriverte er positive.. Mener du da at x_1 og x_2 er konkave som funksjoner av to variable? Altså at Hessematrisen er negativ definitt?
Last edited by Gustav on 09/07-2012 14:43, edited 4 times in total.
Gustav
Tyrann
Tyrann
Posts: 4563
Joined: 12/12-2008 12:44

Beregningen blir som følger:
(ved kjerneregelen og under forutsetning av at alle deriverte eksisterer)
[tex]g=\frac{dx_2}{dx_1}=\frac{dx_2}{dn_2}\frac{dn_2}{dx_1}+\frac{dx_2}{dk_2}\frac{dk_2}{dx_1}=-\left (\frac{\frac{dx_2}{dn_2}}{\frac{dx_1}{dn_1}}+\frac{\frac{dx_2}{dk_2}}{\frac{dx_1}{dk_1}}\right )<0[/tex] siden alle deriverte er forutsatt å være positive.

Videre er [tex]\frac{d^2x_2}{(dx_1)^2}=\frac{dg}{dx_1}=-\left (\frac{\frac{dg}{dn_2}}{\frac{dx_1}{dn_1}}+\frac{\frac{dg}{dk_2}}{\frac{dx_1}{dk_1}}\right )[/tex] der

[tex]\frac{\frac{dg}{dn_2}}{\frac{dx_1}{dn_1}}=-\left (\frac{\frac{d^2x_2}{(dn_2)^2}}{(\frac{dx_1}{dn_1})^2}+\frac{\frac{dx_2}{dn_2}\frac{d^2x_1}{(dn_1)^2}}{(\frac{dx_1}{dn_1})^3}+\frac{\frac{d^2x_2}{dn_2dk_2}}{\frac{dx_1}{dn_1}\frac{dx_1}{dk_1}}+\frac{\frac{dx_2}{dk_2}\frac{d^2x_1}{dn_1dk_1}}{\frac{dx_1}{dn_1}(\frac{dx_1}{dk_1})^2}\right )[/tex] og

[tex]\frac{\frac{dg}{dk_2}}{\frac{dx_1}{dk_1}}=-\left (\frac{\frac{d^2x_2}{(dk_2)^2}}{(\frac{dx_1}{dk_1})^2}+\frac{\frac{dx_2}{dk_2}\frac{d^2x_1}{(dk_1)^2}}{(\frac{dx_1}{dk_1})^3}+\frac{\frac{d^2x_2}{dk_2dn_2}}{\frac{dx_1}{dk_1}\frac{dx_1}{dn_1}}+\frac{\frac{dx_2}{dn_2}\frac{d^2x_1}{dn_1dk_1}}{\frac{dx_1}{dk_1}(\frac{dx_1}{dn_1})^2}\right )[/tex]

Putt disse sammen og vi får at

[tex]\frac{d^2x_2}{(dx_1)^2}=\frac{\frac{d^2x_2}{(dn_2)^2}}{(\frac{dx_1}{dn_1})^2}+\frac{\frac{dx_2}{dn_2}\frac{d^2x_1}{(dn_1)^2}}{(\frac{dx_1}{dn_1})^3}+\frac{\frac{d^2x_2}{dn_2dk_2}}{\frac{dx_1}{dn_1}\frac{dx_1}{dk_1}}+\frac{\frac{dx_2}{dk_2}\frac{d^2x_1}{dn_1dk_1}}{\frac{dx_1}{dn_1}(\frac{dx_1}{dk_1})^2}+\frac{\frac{d^2x_2}{(dk_2)^2}}{(\frac{dx_1}{dk_1})^2}+\frac{\frac{dx_2}{dk_2}\frac{d^2x_1}{(dk_1)^2}}{(\frac{dx_1}{dk_1})^3}+\frac{\frac{d^2x_2}{dk_2dn_2}}{\frac{dx_1}{dk_1}\frac{dx_1}{dn_1}}+\frac{\frac{dx_2}{dn_2}\frac{d^2x_1}{dn_1dk_1}}{\frac{dx_1}{dk_1}(\frac{dx_1}{dn_1})^2}[/tex].

Gitt at alle andreordens partiellderiverte er negative og alle deriverte er positive er uttrykket over negativt (fordi alle leddene er negative), og funksjonen dermed konkav.
Byremo
Noether
Noether
Posts: 36
Joined: 01/07-2012 14:27

Et fryktet, men fantastisk og imponerende svar plutarco, men jeg klarer dessverre ikke å følge det :oops:
Er det slik at du tar utgangspunktet i følgende:

x2=x2(n2(x1), k2(x1)).

Jeg forstår ikke helt at det kan bli riktig å bruke kjerneregelen når du utleder g. Vil ditt svar innebære at mitt svar er galt, itilfelle hva kunne jeg gjort med mitt svar for at det kunne bli likt ditt? Hva i all verden har du gjort i den siste overgangen når du har gått over til brudden brøk, hvorfor har du plutselig byttet ut n2 og k2 med n1 og k1 når du har gått over til brudden brøk, og hva er poenget med å stille helningen opp som "brudden brøk", er det med tanke på at det skal bli lettere å finne krummingen??? Forklar... forklar.... :) Er det noen teoremer eller annet som du har brukt?

Når det gjelder utledningen av den andrederiverte hadde det vært greit med en dummy forklaring. Hva har du brukt av formler osv..?

Du brakte opp noe om "Hessematrisen er negativ definitt". Hva legger man i ordet "definitt"? Har forstått det slik at man ved et optimaliseringsproblem kan putte de andrederiverte inn i denne hesse matrisa og så regne ut egenverdier og ut fra disse finne ut om man har et maks el min. Hvis man har et optimaliseringsproblem med betingelser (når man feks bruker Lagrange) vil man da kunne ta i bruk hesse matrisa på samme måte som ved et rent optimaliseringsproblem for å se om man har et maks eller min (spørsmålet er litt på si)?
plutarco wrote: EDIT: jeg så først nå i etterkant at du skriver at x-ene er konkave i tillegg til at de deriverte er positive.. Mener du da at x_1 og x_2 er konkave som funksjoner av to variable? Altså at Hessematrisen er negativ definitt?
Jeg vet ikke om jeg forstår spørsmålet ditt, men tanken er at de partiell deriverte av første grad skal være positive, mens de partiell deriverte av andre grad skal være negative (konkave). Dette er premissene for utledninga. X1 som funksjon av n1 og k1 og X2 som funksjon av n2 og k2 trenger ikke hver for seg være konkave. Hjalp det? :wink:
Gustav
Tyrann
Tyrann
Posts: 4563
Joined: 12/12-2008 12:44

Hei, jeg er på ferie i fjellet og har bare mobil så har ikke anledning til å svare adekvat akkurat nå.
Gustav
Tyrann
Tyrann
Posts: 4563
Joined: 12/12-2008 12:44

Byremo wrote:Et fryktet, men fantastisk og imponerende svar plutarco, men jeg klarer dessverre ikke å følge det :oops:
Er det slik at du tar utgangspunktet i følgende:

x2=x2(n2(x1), k2(x1)).
Ja. Det blir slik, ja.

Jeg forstår ikke helt at det kan bli riktig å bruke kjerneregelen når du utleder g. Vil ditt svar innebære at mitt svar er galt, itilfelle hva kunne jeg gjort med mitt svar for at det kunne bli likt ditt?


Du bruker jo bare en tilsvarende variant av kjerneregelen. Fordelen med min måte er at vi eksplistt får et uttrykk som inneholder kun de deriverte, som vi altså vet er positive, og ikke differensialer, som det blir litt merkelig å si er enten positive eller negative. Dette gjør jo at vi umiddelbart ser at den deriverte [tex]\frac{dx_2}{dx_1}[/tex] er negativ.
Hva i all verden har du gjort i den siste overgangen når du har gått over til brudden brøk, hvorfor har du plutselig byttet ut n2 og k2 med n1 og k1 når du har gått over til brudden brøk, og hva er poenget med å stille helningen opp som "brudden brøk", er det med tanke på at det skal bli lettere å finne krummingen??? Forklar... forklar.... :) Er det noen teoremer eller annet som du har brukt?
Du kan jo bruke at [tex]\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}[/tex] når begge de deriverte eksisterer.(dette er et teorem, ja) Variabelskiftet fra [tex]n_2 [/tex]til [tex]n_1 [/tex] foregår jo på samme måte som når man f.eks. skifter integrasjonsvariabel. Siden vi har sammenhengen [tex]n_2=N-n_1[/tex] vil [tex]dn_2=-dn_1[/tex] og [tex]\frac{dx_1}{dn_2}=-\frac{dx_1}{dn_1}[/tex]. Grunnen til at jeg gjør om slik er jo fordi [tex]x_1[/tex] er en funksjon av [tex]n_1[/tex] og [tex]k_1[/tex], og ikke [tex]n_2[/tex] og [tex]k_2[/tex]

Når det gjelder utledningen av den andrederiverte hadde det vært greit med en dummy forklaring. Hva har du brukt av formler osv..?

Du brakte opp noe om "Hessematrisen er negativ definitt". Hva legger man i ordet "definitt"? Har forstått det slik at man ved et optimaliseringsproblem kan putte de andrederiverte inn i denne hesse matrisa og så regne ut egenverdier og ut fra disse finne ut om man har et maks el min. Hvis man har et optimaliseringsproblem med betingelser (når man feks bruker Lagrange) vil man da kunne ta i bruk hesse matrisa på samme måte som ved et rent optimaliseringsproblem for å se om man har et maks eller min (spørsmålet er litt på si)?
plutarco wrote: EDIT: jeg så først nå i etterkant at du skriver at x-ene er konkave i tillegg til at de deriverte er positive.. Mener du da at x_1 og x_2 er konkave som funksjoner av to variable? Altså at Hessematrisen er negativ definitt?
Jeg vet ikke om jeg forstår spørsmålet ditt, men tanken er at de partiell deriverte av første grad skal være positive, mens de partiell deriverte av andre grad skal være negative (konkave). Dette er premissene for utledninga. X1 som funksjon av n1 og k1 og X2 som funksjon av n2 og k2 trenger ikke hver for seg være konkave. Hjalp det? :wink:
Den andrederiverte har jeg beregnet kun ved å bruke standardsreglene fra VGS for derivasjon av produkter og brøker.

Ok, så det du sier til slutt er at vi kan anta at alle partiellderiverte av andre orden er negative, men at funksjonene x_1 og x_2 ikke er konkave som funksjoner av to variable. Altså kan vi glemme Hessematrisen. Det eneste jeg ikke får til å stemme helt er leddene med [tex]\frac{d^2 x}{dndk}[/tex], altså der vi først deriverer mhp n og deretter k. Kan vi anta at disse er negative, eller at de er 0? Hva sier boka om dette? Det er jo avgjørende for om den andrederiverte [tex]\frac{d^2x_2}{(dx_1)^2}[/tex] er negativ.
Byremo
Noether
Noether
Posts: 36
Joined: 01/07-2012 14:27

plutarco wrote: Ok, så det du sier til slutt er at vi kan anta at alle partiellderiverte av andre orden er negative, men at funksjonene x_1 og x_2 ikke er konkave som funksjoner av to variable. Altså kan vi glemme Hessematrisen. Det eneste jeg ikke får til å stemme helt er leddene med [tex]\frac{d^2 x}{dndk}[/tex], altså der vi først deriverer mhp n og deretter k. Kan vi anta at disse er negative, eller at de er 0? Hva sier boka om dette? Det er jo avgjørende for om den andrederiverte [tex]\frac{d^2x_2}{(dx_1)^2}[/tex] er negativ.
Boka sier ikke noe om dette, men husker fra mikroøkonomien at det var vanlig å forustsette at x=f(n, k) hadde positiv, men avtagende grenseproduktivitet; altså at de partiellderiveret av første grad var positive og de av andre grad var negative (dette har vi jo). Når det gjelder x som funksjon av begge variablene skulle kurva være konveks i et n - k - diagram. Altså må vel x1 som funk. av n1 og k1 og x2 som funk. av n2 og k2 være konvekse funksjoner. Vil det hjelpe?

Image
plutarco wrote:Den andrederiverte har jeg beregnet kun ved å bruke standardsreglene fra VGS for derivasjon av produkter og brøker.
Jeg kan ikke huske at partiell derivering av funskjoner av flere variabler er noe man lærte på VGS. :wink:
Jeg følte jeg hadde kontroll på de derivasjonsreglene du refererer til, men det ser jeg at jeg ikke har. Forstår ikke oppsettet på den annenderiverte. Kansje jeg må ta VGS om igjen... :?
Gustav
Tyrann
Tyrann
Posts: 4563
Joined: 12/12-2008 12:44

byremo wrote:Mht de leddene som man først har derivert mhp n og så mhp k el ekvivalent først k og så n; kan disse settes på elastisitetsform? Eventuelt vil en forutsetning om konstant skalautbytte bety noe (dvs. øker man begge innsatsfaktorene med 1 % så øker også produksjonen med 1 %)? Kjenner ting begynner å gå litt rundt for meg nå/surrer
For meg høres dette ut som økonomibegreper, som jeg ikke har noe særlig peiling på, dessverre.

Når det gjelder beregningen av den andrederiverte, skriv gjerne hvordan du har derivert, så kan vi se over. Det er kun de vanlige reglene for derivasjon av brøk og produkt man trenger.
Byremo
Noether
Noether
Posts: 36
Joined: 01/07-2012 14:27

Hei

(Flere) Spørsmål Plutarco:

1)Hvorfor har du ikke benyttet partiellderivasjonstegnene ved utregningen? Jeg ser at det blir riktig å bruke de vanlige derivasjonstegnene ved derivasjonen av kjernen, men ikke ellers, siden vi deriverer mhp "ulike ting".
2)Vil ikke hovedrelasjonen være mest korrekt å skrive slik(ser at det ser noe rart ut):
[tex]x_2=f(n_2(x_1,k_2),k_2(x_1,n_2)),\ hvor\ n_2=n_2(x_1,k_2) og k_2=k_2(x_1,n_2)[/tex]? (er nok litt vel nøyen på ting...)
3)Hvis vi hadde hatt [tex]n[/tex] -produkter og [tex]n[/tex] -innsatsfaktorer; kunne vi ha skrevet det på vektor form?
3)Åssen utdannelse har du (moro å høre/nysgjerrig)?

Jeg skal overføre de 10 kronene til deg så snart jeg har fått ditt kontonummer. Du har vært flink :) Er imponert :oops:

Jeg tenkte å poste hele utregningene mine så snart jeg har fått dreisen på
[tex]LaTeX{}[/tex]. Men mine beregninger skurrer litt med dine; ifølge mine beregninger stemmer ikke mitt siste ledd med ditt siste ledd i hver av dine separate utregninger av den andrederiverte (spurte deg på PM).
Jeg har fått:
[tex]\frac{\frac{dx_2}{dn_2}\cdot\frac{d^2x_1}{dn_1dk_1}}{\frac{dx_1}{dk_1}\cdot(\frac{dx_1}{dn_1})^2}[/tex] hvor du har fått [tex]\frac{\frac{dx_2}{dk_2}\frac{d^2x_1}{dn_1dk_1}}{\frac{dx_1}{dn_1}(\frac{dx_1}{dk_1})^2}[/tex] og motsatt. Dette betyr jo ikke noe siden alt slåss isammen til slutt...men jeg er ganske sikker på at mine beregninger er riktige :D
Gustav
Tyrann
Tyrann
Posts: 4563
Joined: 12/12-2008 12:44

1) Årsaken er latskap fra min side. Litt enklere å bare skrive d og ikke \partial

2) Jo, det stemmer.

3) Kan du utdype dette litt mer?

4) master i teoretisk fysikk, bachelor i matte, ppu, og en påbegynt master i matte(mangler et halvt år). (ca 600 studiepoeng jevnt fordelt på fysikk/matte)


Ser ikke hva jeg skulle ha gjort feil i den derivasjonen du snakker om. Du kan jo poste utregningen din.
Karl_Erik
Guru
Guru
Posts: 1080
Joined: 22/10-2006 23:45

Byremo wrote:Incentivordning: 10 NOK til den som klarer å vise og forklare hvordan han/hun har gått frem.
Jeg har ikke noe å tilføye det faglige, men jeg tenkte folk kunne hatt glede av å høre at dette sannsynligvis ikke er noe særlig til insentiv. I psykologien har man gjort flere eksperimenter som tyder på at folk ofte utfører oppgaver bedre og viser mer interesse for dem om de ikke får betalt for dem enn om de får betalt en liten sum. Eksempelvis prøvde en barnehage å forhindre at foreldre hentet barn for sent ved å innføre av størrelseorden 100 kroner eller noe slikt. Dette hadde den motsatte effekten, og andelen foreldre som hentet barn for sent økte. Meg bekjent er det så langt ikke gjort noen studier av insentivordninger på matematikk.net, så mulig 10 kroner er midt i blinken, men er litt skeptisk.
Post Reply