Finne tyngdepunktet til et flatestykke

[Aleks855]

Sitter og jukker på en oppgave jeg har glemt hvordan jeg løser.

Jeg skal finne koordinatene til tyngdepunktet til flatestykket begrenset av funksjonene [tex]f(x) = \frac12x^2-2x+3[/tex] og [tex]g(x) = x+3[/tex]

Jeg har skissert flatestykket begrenset av funksjonene, men ikke regnet ut noe areal eller liknende.

Finner ikke noen fin formel eller noe for tyngdepunktet, og jeg klarer ikke å utlede noen formel for det sånn i farta heller.

[Nebuchadnezzar]

Fin formel kan du få, også kan jeg la deg tygge litt på hvorfor det stemmer.

[tex] \bar{x} = \frac{M_x}{M} = \frac{1}{A} \int_a^b x\bigl( f(x) - g(x) \bigr) \, \mathrm{d}x[/tex]

[tex] \overline{y} = \frac{1}{A} \int_a^b \frac{1}{2}\bigl( f(x)^2 - g(x)^2 \bigr)\,\mathrm{d}x [/tex]
Og
[tex]A = \int_a^b f(x) - g(x) \, \mathrm{d}x[/tex]

[Aleks855]

Hva er M i dette tilfellet?

Og arealet burde vel kanskje være over g(x)-f(x) siden g(x) har høyere verdi i intervallet?
EDIT: Det spiller kanskje ingen rolle det, siden arealet er en absoluttverdi?

[Nebuchadnezzar]

Her antas det at [tex]f\,>\,g[/tex] ja, men det er jo bare å bytte om =)

M er den totalle massen, og [tex]M_x[/tex] er dreiemomentet til legemet. Eller dens evne til å rotere i [tex]x[/tex]-retning. Men dette er jo fysikk, og trengs kanskje ikke utdypes grundigere (Dette vet jeg ikke)

Antar andre kan utlede mer enn lille meg

http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/ ... fMass.aspx

[Aleks855]

Nice, da får jeg hvertfall gjort oppgaven. Lurer på hvorfor det ikke står i formelboka, når det dukka opp på et eksamenssett. Mulig det kom i vedleggene til eksamenssettet.

[Aleks855]

Hmm. Jeg får at [tex]\bar x = -3[/tex] men det er jo utafor flatestykket. Er det normalt?

EDIT: Ser ut som det skal være 3, visuelt, så det kan være fordi jeg tok absoluttverdien av areal-utregninga.

[Gustav]

Utledningen generelt blir f.eks. slik:

La [tex]\vec{r_0}[/tex] være likevektspunktet til et volum V med massetetthet [tex]\rho[/tex].

Vi krever at [tex]\int_V(\vec{r}-\vec{r_0})\rho(\vec{r})dV=0[/tex], som løses for [tex]\vec{r_0}[/tex].

Integranden over er dreiemomentet til et volumelement dV om likevektspunktet. Vi krever altså at summen av dreiemomentene over alle volumelementer om likevektspunktet må være 0.

For den spesielle oppgaven er tettheten uniform, altså kan vi sette [tex]\rho=1[/tex]. Ligningen over kan skrives komponentvis for x og y-koordinatene, og dette leder til nebus formler.

[Aleks855]

Får du brukt den metoden i dette tilfellet, plutarco?

Her er det jeg har prøvd. Tror jeg har fått rett x-verdi, men y-verdien...

http://i.imgur.com/hSshO.png

Ser ikke hvor jeg har gått feil.

[Gustav]

A må være positiv siden det er arealet av området.

[Aleks855]

Ja, jeg gjorde det først, men da fikk [tex]\bar x[/tex] feil fortegn igjen =/

Men stemmer [tex]\bar y =\frac{36}5[/tex] i det hele tatt da? Virker som 7.2 er litt for høyt likevel.

[Nebuchadnezzar]

Husk at du må bruke [tex]g(x) - f(x)[/tex] siden [tex]g>f[/tex] på intervalet.
Selv får jeg da

[tex]A = 18[/tex] og [tex]T(3,21/5)[/tex]

[Gustav]

Det er noen feil fortegn i utledningen av [tex]g^2-f^2[/tex], alex. Blant annet siste ledd der du har +9. Det skal være -9.

[Aleks855]

Jaggu... Jeg skreiv [tex]g^2(x) - f^2(x)[/tex] men regna ut [tex]f^2(x) - g^2(x)[/tex]

EDIT: Svarte... Samme på utregninga av [tex]\bar x[/tex], men uten kvadrering av funksjonene. Snakk om å regne seg blind gitt

[Aleks855]

Fikk omsider svaret jeg ville ha ja! Takk for hjelpa

Måten jeg gjorde det nå var å skrive formlene først, og dermed bruke litt tid på å grundig regne ut alle de tingene jeg måtte ha med, før jeg begynner med selve utregninga. Å løse integraler som skal brukes i andre integraler, og kvadrere trinomer on-the-fly midt inni en integrasjon var bare dårlig teknikk fra min side.

http://i.imgur.com/0iKTd.png

Hvordan gikk du frem for å finne det Nebu? Har du en enklere måte enn jeg gjorde det?

[Gustav]

Det fins ingen enklere metode generelt sett. Jeg antar nebu implementerte de samme formlene som deg i geogebra.

Interaktiv geogebra som beregner center of mass fins her: http://www.geogebratube.org/material/show/id/1556