Bruk induksjon til å vise at...

[Razzy]

Hei folkens.

Jobber med en oppgave:


[tex]$$a)\;\;\;4 + 10 + 16 + \ldots + \left( {6n - 2} \right) = n\left( {3n + 1} \right)\;\;for\;\;n \ge 1$$[/tex]


Løsningsforslag:

Basisbevis: [tex]$$P\left( n \right) = 4 + 10 + 16 + \ldots + \left( {6n - 2} \right) = n\left( {3n + 1} \right)$$[/tex]

[tex]$$\left( {6 \cdot 1 - 2} \right) = 1\left( {3 \cdot 1 + 1} \right)$$[/tex]

[tex]$$22 \ne 52$$[/tex]

Da basistesten ikke er oppfyllt - er ikke denne oppgaven løselig ved bruk av induksjon?

Dvs hva gjør jeg feil?

[Nebuchadnezzar]

Både venstre sida di og høyre sida blir jo 4... Formelen stemmer den =)

[Aleks855]

[tex]$$\left( {6 \cdot 1 - 2} \right) = 1\left( {3 \cdot 1 + 1} \right)$$[/tex]

[tex]$$22 \ne 52$$[/tex]

Hehe, sikkert massiv slurvehoderegning her.

[Razzy]

Samme problem fikk jeg her når jeg skal utføre basistesten:

[tex]$$1 + {3^1} + {3^2} + \ldots + {3^n} = {{{3^{n + 1}} - 1} \over 2}\;\;\;\;for\;n \ge 0$$[/tex]

[tex]$${3^1} \ne {{{3^2} - 1} \over 2}$$[/tex]

[tex]$$3 \ne 4$$[/tex]

[Razzy]

[tex]$$\left( {6 \cdot 1 - 2} \right) = 1\left( {3 \cdot 1 + 1} \right)$$[/tex]

[tex]$$22 \ne 52$$[/tex]

Hehe, sikkert massiv slurvehoderegning her.

Hei gutta - takk for sist

Mente å skrive;

[tex]$$\left( {6 \cdot 4 - 2} \right) = 4\left( {3 \cdot 4 + 1} \right)$$[/tex]

[tex]$$22 \ne 52$$[/tex]


Mrk: Fikk nemlig et tips fra læreren at hvis rekke begynner på f.eks 4, så kan det være lurt å sjekke at 4 gjelder tiltross for at 1 også skal være gyldig. Jeg mener 4 ikke gjelder her.

[Aleks855]

Samme problem fikk jeg her når jeg skal utføre basistesten:

[tex]$$1 + {3^1} + {3^2} + \ldots + {3^n} = {{{3^{n + 1}} - 1} \over 2}\;\;\;\;for\;n \ge 0$$[/tex]

[tex]$${3^1} \ne {{{3^2} - 1} \over 2}$$[/tex]

[tex]$$3 \ne 4$$[/tex]

Ja, du glemmer jo å telle med n=0.

For n=1:

[tex]3^0 + 3^1 = 1+3 = 4[/tex]

[Aleks855]

I den første:

Tror du leser rekka feil. Du tar jo kun med det siste leddet i venstre side av likheten. Det er jo mye som kommer før det.

For n=4:

[tex]4+10+16+22 = 52[/tex] og det stemmer jo det.

[Razzy]

I den første:

Tror du leser rekka feil.

Det er meg som surrer - beklager, ser det nå!

Et kjapt spørsmål om det å lese riktig:


[tex]\left\{ {{{{n^2} - 2} \over {n + 2}}} \right\}_{n = 1}^\infty \Leftrightarrow {\lim }\limits_{n \to \infty } {{{n^2} - 2} \over {n + 2}}[/tex]

Tenker jeg riktig?

[Aleks855]

Usikker på hva du mener med den første. Slik jeg ser det så vil jeg tolke venstre side slik at du evaluerer uttrykket i [tex]n=\infty[/tex] og [tex]n=1[/tex], men det står ikke hva du mener.

I det andre uttrykket så er det rett og slett en grenseverdi.

Det du er ute etter er kanskje [tex]\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k^2-1}{k+2}[/tex] som er den uendelige rekka der du summerer uttrykket evaluert i alle k fra 1 til uendelig.

[Razzy]

Usikker på hva du mener med den første. Slik jeg ser det så vil jeg tolke venstre side slik at du evaluerer uttrykket i [tex]n=\infty[/tex] og [tex]n=1[/tex], men det står ikke hva du mener.

I det andre uttrykket så er det rett og slett en grenseverdi.

Det du er ute etter er kanskje [tex]\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k^2-1}{k+2}[/tex] som er den uendelige rekka der du summerer uttrykket evaluert i alle k fra 1 til uendelig.

Dette er vel bare to forskjellige måter å skrive det samme på?

Mente du å skrive: [tex]\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k^2-2}{k+2}[/tex]

[Razzy]

[tex]$$P\left( n \right):\;\;{n^2} > n + 1\;for\;n \ge 2$$[/tex]


Induksjonsbevis (basistest o.k.);

[tex]$$P\left( {n + 1} \right):\;\;{n^2} + {\left( {n + 1} \right)^2} > \left( {n + 1} \right) + 1$$[/tex]

[tex]$$\left( {n + 1} \right) + {n^2} + 2n + 1 > n + 2$$[/tex]

[tex]$${n^2} + 3n + 2 > n + 2$$[/tex]

Er dette nok til å si at [tex]$$P\left( n \right)\;impliserer\;P\left( {n + 1} \right)$$[/tex] "at oppgaven er løst"?

[Vektormannen]

Det blir ikke helt riktig på venstresiden din. Du mener vel at P(n+1) er [tex](n+1)^2 > (n+1) + 1[/tex]? (Husk at dette ikke er en sum, du får ikke flere ledd når n øker.)

Hvis du hadde endt opp med det siste der (som du ikke vil gjøre om du fikser på starten), så ville det ikke vært godt nok nei, siden du da egentlig bruker det du skal vise, på en måte.

[Razzy]

Det blir ikke helt riktig på venstresiden din. Du mener vel at P(n+1) er [tex](n+1)^2 > (n+1) + 1[/tex]? (Husk at dette ikke er en sum, du får ikke flere ledd når n øker.)

Hvis du hadde endt opp med det siste der (som du ikke vil gjøre om du fikser på starten), så ville det ikke vært godt nok nei, siden du da egentlig bruker det du skal vise, på en måte.

Et lite forståelses spørsmål (håper du har tid til å lese det, følte jeg fikk resonnert endel):

Hvis jeg har følgende rekke: [tex]$$P\left( n \right):\;\;1 + 3 + 5 + \ldots + \left( {2n - 1} \right) = {n^2}$$[/tex]

Her ser jeg at følgende ledd gir denne rekken: [tex]$${2n - 1}$$[/tex] og [tex]$${n^2}$$[/tex] gir summen av leddene opp til n.


Så kommer induksjonssteget: [tex]$$P\left( {n + 1} \right):\;\;1 + 3 + 5 + \ldots + \left( {2n - 1} \right) + \left( {2\left( {n + 1} \right) - 1} \right) = {\left( {n + 1} \right)^2}$$[/tex]

Hva skjer her: [tex]$$\left( {2n - 1} \right) + \left( {2\left( {n + 1} \right) - 1} \right) = {\left( {n + 1} \right)^2}$$[/tex] beskrevet med ord?


Slik jeg ser det summerer jeg tallrekket opp til et vilkårlig ledd n: [tex]$$\sum\limits_{n = 1}^n {2n - 1} $$[/tex] og et ledd over dette: [tex]$$\left( {2\left( {n + 1} \right) - 1} \right) = 2n + 1$$[/tex].

f.eks; Jeg setter n = 2 og får: [tex]$$\left( {2 \cdot 1 - 1} \right) + \left( {2 \cdot 2 - 1} \right)=4$$[/tex] og et ledd over: [tex]$${\left( {2 \cdot 2 + 1} \right)}$$[/tex] summen av disse = 9.

Dette er det samme som [tex]$${\left( {2 + 1} \right)^2} = 9$$[/tex].


Konklusjon: Ved først å sjekke at ligningen er oppfyllt for n og deretter sjekke at den stemmer for n+1 (et ledd over) kan jeg anta at ligningen vil fungere i det uendelige?

Her hele nøtta her at jeg ikke konkludere med noe som helst ved å bare slenge ut en påstand at den fungerer for alle n ved å teste 1, 10, 100, eller 1000 n. Men at jeg kan konkludere fordi jeg kan bevise dette matematisk at den stemmer for et ledd og det neste samtidig?

[Vektormannen]

I induksjonssteget skjer følgende: Fra antagelsen om at formelen stemmer for n så vet vi at summen [tex]1+3+5+...+(2n-1)[/tex] er det samme som [tex]n^2[/tex]. Når vi så legger til leddet [tex]2(n+1)-1 = 2n+1[/tex] får vi [tex][1+3+5+...+2n-1] + 2n+1 = n^2 + 2n + 1 = (n+1)^2[/tex]. Er du med på den?

Det virker ellers som du tenker riktig angående induksjon. Induksjon fungerer som du sier fordi du viser at hver gang påstanden gjelder for tallet n, så gjelder den også for tallet n+1. Så med andre ord, hvis den gjelder for 1 så må den da gjelde for 2, og siden den da gjelder for 2 må den gjelde for 3, og så videre ut i uendeligheten.

Fikk du til den ulikheten du skulle bevise i sted?

[Razzy]

[tex]$$P\left( n \right):\;\;{n^2} > n + 1\;for\;n \ge 2$$[/tex]


Induksjonsbevis (basistest o.k.);

[tex]$$P\left( {n + 1} \right):\;\;{n^2} + {\left( {n + 1} \right)^2} > \left( {n + 1} \right) + 1$$[/tex]

[tex]$$\left( {n + 1} \right) + {n^2} + 2n + 1 > n + 2$$[/tex]

[tex]$${n^2} + 3n + 2 > n + 2$$[/tex]

Er dette nok til å si at [tex]$$P\left( n \right)\;impliserer\;P\left( {n + 1} \right)$$[/tex] "at oppgaven er løst"?

Nytt forslag:


[tex]$$P\left( n \right):\;\;{n^2} \;>\; n + 1\;for\;n \ge 2$$[/tex]

Induksjonsbevis (basistest o.k.);

[tex]$$P\left( {n + 1} \right):\;\;{\left( {n + 1} \right)^2} \;>\; \left( {n + 1} \right) + 1$$[/tex]

Som Vektormannen sa; dette er ikke en sum, jeg får ikke flere ledd når enn øker.

[tex]$${n^2} + 2n + 1 \;>\; n + 2$$[/tex]

Test, setter inn minst mulig verdi: [tex]$$P\left( 2 \right):\;\;{2^2} + 2 \cdot 2 + 1 \;>\; 2 + 2$$[/tex]

[tex]$$P\left( 2 \right):\;\;9 \;>\; 4 \; o.k.$$[/tex]


Kommentar: [tex]$$P\left( {n + 1} \right):\;\;{\left( {n + 1} \right)^2} \;>\; \left( {n + 1} \right) + 1$$[/tex]

Her sjekker jeg når verdien n er én større og ikke om tallrekket gjelder for neste tall på tallrekken - dette er en ulikhet og ikke en tallrekke.