Avgjør om følgene konvergerer eller divergerer

[Razzy]

Hei, kunne trengt litt hjelp til å komme i gang med følgende oppgave:

Avgjør om følgene konvergerer eller divergerer. Hvis følgen konvergerer, finn grensen. Hvis den divergerer, avgjør om den går mot uendelig, minus uendelig eller ingen av delene.

[tex]$$a)\;\;\left\{ {{{{n^2} - 2} \over {n + 2}}} \right\}_{n = 1}^\infty $$[/tex]

Skriver om notasjonen til noe jeg er mer vandt med:

[tex]$${\lim }\limits_{n \to \infty } {{{n^2} - 2} \over {n + 2}}$$[/tex]


Løsningsforslag:

[tex]$${\lim }\limits_{n \to \infty } {{{n^2} - 2} \over {n + 2}}$$[/tex]

Ettersom det ikke går an å forkorte noe her, er jeg nødt til å dele på [tex]1/n[/tex] i teller og nevner. I utangspunktet skal man være forsiktig å dele på en variabel, men i disse tilfellene er det greit - eller?

[tex]$${\lim }\limits_{n \to \infty } {{n - {2 \over n}} \over {1 +{2\over n}}} \Rightarrow {\lim }\limits_{n \to \infty } {{\infty - 0} \over {1 +0}} = \infty $$[/tex]

I nevneren står det 1+2/n. Følgen divergerer mot uendelig.

[Vektormannen]

Det ser riktig ut dette.

Du er ikke nødt til å dele på n over alt slik du gjør, men du har lov siden du gjør det både i teller og nevner i brøken (du ganger jo da i praksis brøken med 1!) Et alternativ til å dele med n i teller og nevner hadde vært å f.eks. bruke L'Hopitals regel, eller gjøre noe sånt: [tex]\frac{n^2 - 2}{n+2} = \frac{n^2 - 4 + 2}{n+2} = \frac{(n-2)(n+2)}{n+2} + \frac{2}{n+2} = n-1 + \frac{2}{n+2}[/tex], og så ta grensen av hvert ledd.

Pass på notasjonen litt. Det skal ikke være noen implikasjonspil der, og det skal heller ikke være noen "lim" foran når du har satt inn for n. I det uttrykket bør du også ha parenteser eller noe rundt for å signalisere at det ikke er et "ordentlig" uttrykk (det inneholder uendelig). Jeg ville skrevet det sånn:

[tex]\lim_{n \to \infty} \ \frac{n - \frac{2}{n}}{1 + \frac{2}{n}} = \left(\frac{\infty - 0}{1 + 0}\right) = \infty[/tex]

[Razzy]

Det ser riktig ut dette.

Du er ikke nødt til å dele på n over alt slik du gjør, men du har lov siden du gjør det både i teller og nevner i brøken (du ganger jo da i praksis brøken med 1!) Et alternativ til å dele med n i teller og nevner hadde vært å f.eks. bruke L'Hopitals regel, eller gjøre noe sånt: [tex]\frac{n^2 - 2}{n+2} = \frac{n^2 - 4 + 2}{n+2} = \frac{(n-2)(n+2)}{n+2} + \frac{2}{n+2} = n-1 + \frac{2}{n+2}[/tex], og så ta grensen av hvert ledd.

Pass på notasjonen litt. Det skal ikke være noen implikasjonspil der, og det skal heller ikke være noen "lim" foran når du har satt inn for n. I det uttrykket bør du også ha parenteser eller noe rundt for å signalisere at det ikke er et "ordentlig" uttrykk (det inneholder uendelig). Jeg ville skrevet det sånn:

[tex]\lim_{n \to \infty} \ \frac{n - \frac{2}{n}}{1 + \frac{2}{n}} = \left(\frac{\infty - 0}{1 + 0}\right) = \infty[/tex]

L'Hopitals regel ville gitt meg:

[tex]$${\lim }\limits_{n \to \infty } {{{n^2} - 2} \over {n + 2}}\;= \limits^{l.h}\; {\lim }\limits_{n \to \infty } {{2n - 0} \over {1 + 0}} = \left( {2n} \right) = \infty $$[/tex]

Ser ganske pent og ryddig ut, er L.hopitals en regel som ofte gjør innvikla uttrykk penere? Blir spennende å se på de neste oppgavene.


Klarte ikke helt å følge sjongleringen du gjorde her:

[tex]\frac{n^2 - 2}{n+2} = \frac{n^2 - 4 + 2}{n+2} = \frac{(n-2)(n+2)}{n+2} + \frac{2}{n+2} = n-1 + \frac{2}{n+2}[/tex]

Fra første til andre ledd? Og andre til tredje ledd?

[Vektormannen]

Er du enig i at [tex]n^2 - 4 + 2[/tex] er det samme som [tex]n^2 - 2[/tex], bare skrevet på en mer komplisert måte? Poenget med å skrive det slik er at man da kan dele opp i to ledd, et med [tex]n^2 - 4[/tex] i telleren og et med [tex]2[/tex] i telleren. Da kan vi bruke tredje kvadratsetning / konjugatsetningen på [tex]n^2 - 4[/tex] og få [tex](n-2)(n+2)[/tex], og så videre.

[Razzy]

Er du enig i at [tex]n^2 - 4 + 2[/tex] er det samme som [tex]n^2 - 2[/tex], bare skrevet på en mer komplisert måte? Poenget med å skrive det slik er at man da kan dele opp i to ledd, et med [tex]n^2 - 4[/tex] i telleren og et med [tex]2[/tex] i telleren. Da kan vi bruke tredje kvadratsetning / konjugatsetningen på [tex]n^2 - 4[/tex] og få [tex](n-2)(n+2)[/tex], og så videre.

Selvfølgelig.

Var det meningen at siste leddet i:

[tex]\frac{n^2 - 2}{n+2} = \frac{n^2 - 4 + 2}{n+2} = \frac{(n-2)(n+2)}{n+2} + \frac{2}{n+2} = n-1 + \frac{2}{n+2}[/tex]

Skulle vært: [tex]n-2 + \frac{2}{n+2}[/tex]


Da ser jeg det du mener, gir klart en bedre oversikt å få uttrykket delt opp - du er flink til å se løsninger. Gjelder bare å gjøre fler oppgaver, og gjøre oppgavene med innlevelse.

[Vektormannen]

Ah, mente såklart n- 2 ja, ikke n-1! Da skjønner jeg forvirringen :p

[Razzy]

Ah, mente såklart n- 2 ja, ikke n-1! Da skjønner jeg forvirringen :p

Tror du testet meg jeg