matematikk.net

Avgjør om følgene konvergerer eller divergerer. Hvis følgen konvergerer, finn grensen. Hvis den divergerer, avgjør om den går mot uendelig, minus uendelig eller ingen av delene.


Løsningsforslag:

1. [tex]$${\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {2 - \sqrt 5 } \right)^n}$$[/tex]

2. [tex]$${\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {{2^n} - {5^{{n \over 2}}}} \right)$$[/tex]

3. [tex]$${\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {{2^n}} \right) - {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {{5^{{n \over 2}}}} \right)$$[/tex]

Mener dette skal være lov hvis jeg tolket regelen riktig.

3. [tex]$$\left( \infty \right) - \left( \infty \right) = \underline 0 $$[/tex]

Er ikke veldig fornøyd med overgangen fra 2 til 3 - syntes dere det er greit?

[tex] (a+b)^n \neq (a^n + b^n)[/tex]

gundersen wrote:[tex] (a+b)^n \neq (a^n + b^n)[/tex]

Det har du selvfølgelig rett i, takk.


Løsningsforslag 2:

1. [tex]$${\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {2 - \sqrt 5 } \right)^n}$$[/tex]

2. [tex]$${\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( { - 0,24 \ldots } \right)^n} = \left( 0 \right)$$[/tex]

[tex]$$ \Rightarrow $$[/tex] Følgen konvergerer mot 0.

EDIT: Da [tex]$$\left| {2 - \sqrt 5 } \right| < 1$$[/tex] vil jo uttrykket blir mindre og mindre for hvert ledd.

Oppgave 2:

Avgjør om følgene konvergerer eller divergerer. Hvis følgen konvergerer, finn grensen. Hvis den divergerer, avgjør om den går mot uendelig, minus uendelig eller ingen av delene.


[tex]$$\left\{ {{{\sin n} \over {{n^2} + 3}}} \right\}_{n = 1}^\infty $$[/tex]


Løsningsforslag (v.b.a l.hopitals regel):

1. [tex]$${\lim }\limits_{n \to \infty } {{\cos n} \over {2n}}$$[/tex]

2. [tex]$${\lim }\limits_{n \to \infty } - {{\sin n} \over 2}$$[/tex]

[tex]$$ \Rightarrow $$[/tex] Følgen verken konvergerer eller divergerer, da sin n ikke er definert for uendeligheten.

Oppgave 3:

Avgjør om følgene konvergerer eller divergerer. Hvis følgen konvergerer, finn grensen. Hvis den divergerer, avgjør om den går mot uendelig, minus uendelig eller ingen av delene.


[tex]$$\left\{ {{{{2^n}} \over {n!}}} \right\}_{n = 1}^\infty $$[/tex]


Løsningsforslag:

[tex]$$ \Rightarrow $$[/tex] Konvergerer mot 0, da [tex]$$n! \gg {2^n}$$[/tex] når n går mot uendelig.

Oppgave 4:

Avgjør om følgene konvergerer eller divergerer. Hvis følgen konvergerer, finn grensen. Hvis den divergerer, avgjør om den går mot uendelig, minus uendelig eller ingen av delene.


[tex]$$\left\{ {{{n \cdot {2^n}} \over {{3^n}}}} \right\}_{n = 1}^\infty $$[/tex]


Løsningsforslag:

1. [tex]$${\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {{{n \cdot {2^n}} \over {{3^n}}}} \right)$$[/tex]

2. [tex]$${\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {{1 \over {{3^n}}}} \right) \cdot {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {n \cdot {2^n}} \right)$$[/tex]

[tex]$$ \Rightarrow $$[/tex] Konvergerer mot 0, da venstre leddet vil [tex]$$ \to 0$$[/tex]

EDIT: Ser oppgavene riktige ut? Er første gang jeg gjør dette, følte det gikk for bra til å være sant

Razzy wrote:Oppgave 2:
Avgjør om følgene konvergerer eller divergerer. Hvis følgen konvergerer, finn grensen. Hvis den divergerer, avgjør om den går mot uendelig, minus uendelig eller ingen av delene.
[tex]$$\left\{ {{{\sin n} \over {{n^2} + 3}}} \right\}_{n = 1}^\infty $$[/tex]
Løsningsforslag (v.b.a l.hopitals regel):
1. [tex]$${\lim }\limits_{n \to \infty } {{\cos n} \over {2n}}$$[/tex]
2. [tex]$${\lim }\limits_{n \to \infty } - {{\sin n} \over 2}$$[/tex]
[tex]$$ \Rightarrow $$[/tex] Følgen verken konvergerer eller divergerer, da sin n ikke er definert for uendeligheten.

blir nok:

[tex]{\lim }\limits_{n \to \infty }\, {{\sin(n)} \over {n^2+3}}=\frac{1}{\infty}=0[/tex]

Janhaa wrote:blir nok:

[tex]{\lim }\limits_{n \to \infty }\, {{\sin(n)} \over {n^2+3}}=\frac{1}{\infty}=0[/tex]

Forsøkte å taste inn f.eks [tex]$$\sin \left( {1 \times {{10}^{15}}} \right)$$[/tex] på kalkulatoren og fikk error...

Det er selvfølgelig kalkulatorens kapasitet...

EDIT: Er utregningen min også feil da? Tenkte på bruk av l.hopitals regel?

Det holder ikke å bare sjekke om grensen går mot null for å se om en serie konvergerer eller divergerer. Du må bruke forskjellige metoder for å finne ut av dette. F.eks: p-test, , geometrisk test, sammenlikning av grenser, ratio-test etc.

Hvis du har en serie [tex]\sum {{a_n}}[/tex] og [tex]{\lim}\limits_{n \to \infty}\,{{a_n}} \neq 0 [/tex] kan vi konkluderer med at serien divergerer. Hvis den går mot null så kan vi ikke konkludere med noe

Angående l'Hopital kan vi bare bruke den om teller og nevner begge går mot enten 0 eller uendelig

gundersen wrote:Det holder ikke å bare sjekke om grensen går mot null for å se om en serie konvergerer eller divergerer. Du må bruke forskjellige metoder for å finne ut av dette. F.eks: p-test, , geometrisk test, sammenlikning av grenser, ratio-test etc.

Veldig fint når du legger inn eksempler av type tester; er denne "Squeeze" testen også en av disse?

Da det kommer frem av oppgaven av grensen går mot null, mener du at jeg må bruke disse testene for å bevise dette matematisk?

gundersen wrote:Hvis du har en serie [tex]\sum {{a_n}}[/tex] og [tex]{\lim}\limits_{n \to \infty}\,{{a_n}} \neq 0 [/tex] kan vi konkluderer med at serien divergerer. Hvis den går mot null så kan vi ikke konkludere med noe

Her bruker du null som et eksempel og du mener at så lenge man ikke kan bevise at grensen går mot én spesiell verdi - divergerer den?

Og vi må kan ikke konkludere at grensen konvergerer når den går mot null, eller hvilken som helst annen verdi - for vi må bevise dette med de testene du nevnte?

gundersen wrote:Angående l'Hopital kan vi bare bruke den om teller og nevner begge går mot enten 0 eller uendelig

Ok. Da noterer jeg meg at l`Hopital kun kan brukes dersom teller og nevner begge går mot enten 0 eller uendelig, dette kommer kanskje tydeligere frem når jeg har jobbet mer meg disse grensene?

gundersen wrote:Det holder ikke å bare sjekke om grensen går mot null for å se om en serie konvergerer eller divergerer. Du må bruke forskjellige metoder for å finne ut av dette. F.eks: p-test, , geometrisk test, sammenlikning av grenser, ratio-test etc.

Hvis du har en serie [tex]\sum {{a_n}}[/tex] og [tex]{\lim}\limits_{n \to \infty}\,{{a_n}} \neq 0 [/tex] kan vi konkluderer med at serien divergerer. Hvis den går mot null så kan vi ikke konkludere med noe

Her er det ikke snakk om rekker (serier), men følger!

Anbefaler deg å se gjennom videoene som omhandler divergerende/konvergerende rekker på denne siden:
http://patrickjmt.com/ Alle spørsmålene du stilte blir mer eller mindre besvart der

oisann, beklager!
Da kan du mer eller mindre se bort i fra det jeg sa. Kan redigere vekk noe om det er misledende, men lar det bare stå foreløbig.

Kommer sikkert snart til rekker tenker jeg