Induksjon av rekke

[Razzy]

[tex]$$P\left( n \right):\;\;\sum\limits_{k = 1}^n {{k^2} = 1 + {2^2} + {3^2} + \ldots + {n^2} = {{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)} \over 6}} ,\;\;for\;alle\;heltall\;n \ge 1.$$[/tex]




[tex]$${\rm I}{\rm{.}}\;{\rm{Grunnbevis:}}\;$$[/tex]

[tex]$$M{\aa}l;\;Bevise\;at\;rekken\;gjelder\;for\;grunntilfellet\;1.$$[/tex]

[tex]$$1.\;\;P\left( 1 \right):\;\;\sum\limits_{k = 1}^1 {{k^2} = {{1\left( {1 + 1} \right)\left( {2 \cdot 1 + 1} \right)} \over 6}} $$[/tex]

[tex]$$2.\;\; \Rightarrow P\left( 1 \right):\;\;1 = {6 \over 6} = 1\;\;\;o.k.$$[/tex]




[tex]$${\rm I}{\rm I}.\;{\rm{Induksjonsteget:}}$$[/tex]

[tex]$$M{\aa}l;\;Bevise\;at\;v.s\; \Leftrightarrow \;h.s.$$[/tex]

[tex]$$3.\;\;{\rm{Antar:}}\;\;P\left( z \right):\;\;\sum\limits_{k = 1}^z {{k^2} = 1 + {2^2} + {3^2} + \ldots + {z^2} = {{z\left( {z + 1} \right)\left( {2z + 1} \right)} \over 6}} ,\;\;for\;alle\;heltall\;z \ge 1.$$[/tex]

[tex]$$4.\;{\rm{Ser}}\;{\rm{p{\aa}}}\;{\rm{v}}{\rm{.s:}}\;\;\underbrace {1 + {2^2} + {3^2} + \ldots + {z^2}}_{{\rm{Benytter}}\;{\rm{antakelsen}}\;{\rm{pkt}}.\;{\rm{3}}.} + {\left( {z + 1} \right)^2}$$[/tex]

[tex]$$5.\;\;{{z\left( {z + 1} \right)\left( {2z + 1} \right)} \over 6} + {\left( {z + 1} \right)^2}$$[/tex]


[tex]$$*\;{\rm{Ovenfor}}\;{\rm{har}}\;{\rm{vi}}\;{\rm{v}}.{\rm{s}}.\;{\rm{som}}\;{\rm{vi}}\;{\rm{onsker}}\;{\rm{{\aa}}}\;{\rm{bevise}}\;{\rm{er}}\; \Leftrightarrow \;{\rm{med}}\;{\rm{h}}.{\rm{s}}:\;{{\left( {z + 1} \right)\left[ {\left( {z + 1} \right) + 1} \right]\left[ {2\left( {z + 1} \right) + 1} \right]} \over 6}.$$[/tex]


[tex]$$7.\;\;{{z\left( {2{z^2} + z + 2z + 1} \right) + 6\left( {{z^2} + 2z + 1} \right)} \over 6}$$[/tex]

[tex]$$8.\;\;{{2{z^3} + 3{z^2} + z + 6{z^2} + 12z + 6} \over 6}$$[/tex]

[tex]$$9.\;\;{{2{z^3} + 9{z^2} + 13z + 6} \over 6}$$[/tex]



[tex]$$10.\;\;{\rm{Ser}}\;{\rm{p{\aa}}}\;{\rm{h}}{\rm{.s:}}\;\;\;{{\left( {z + 1} \right)\left[ {\left( {z + 1} \right) + 1} \right]\left[ {2\left( {z + 1} \right) + 1} \right]} \over 6}$$[/tex]

[tex]$$11.\;\;{{\left( {z + 1} \right)\left[ {2{z^2} + 7z + 6} \right]} \over 6}$$[/tex]

[tex]$$12.\;\;{{2{z^3} + 9{z^2} + 13z + 6} \over 6}$$[/tex]


[tex]$$\underline{\underline {Da\;v.s\; = \;h.s\;for\;P\left( {k + 1} \right)\; \Rightarrow \;P\left( n \right)\;gjelder\;for\;alle\;heltall\;n \ge 1.}} $$[/tex]

[Vektormannen]

Det er riktig dette, men for å være litt pirkete; når du skal vise at P(z+1) er sann gitt at P(z) er sann, så bør du egentlig starte med venstre side, og så gjøre de nødvendige stegene og komme frem til at det er lik høyre side. Når du starter med å skrive at venstre side er lik høyre side så har du på en måte allerede antatt at det er sant (eller for å si det på en annen måte, på det tidspunktet vet du ikke om det skal være et likhetstegn eller ikke.)

[Razzy]

Det er riktig dette, men for å være litt pirkete; når du skal vise at P(z+1) er sann gitt at P(z) er sann, så bør du egentlig starte med venstre side, og så gjøre de nødvendige stegene og komme frem til at det er lik høyre side. Når du starter med å skrive at venstre side er lik høyre side så har du på en måte allerede antatt at det er sant (eller for å si det på en annen måte, på det tidspunktet vet du ikke om det skal være et likhetstegn eller ikke.)

Selvfølgelig! "start med v.s..." beklager at jeg ikke husket det.

Nå har jeg endret løsningsforslaget ovenfor - syntes du det så greit ut nå?

Jeg tenkte litt på det jeg konkluderer med.

[2357]

En tilsvarende tråd finnes allerede her.

[Vektormannen]

Nå ser det bedre ut ja. En liten ting til Der du bruker [tex]\Leftrightarrow[/tex] skal det egentlig stå [tex]=[/tex]. Du skal jo faktisk vise at v.s. og h.s. er like, skal du ikke? Ekvivalens har man mellom logiske påstander (f.eks. mellom ligninger, ulikheter, og andre former for logiske utsagn), ikke mellom tall og matematiske uttrykk.

[Razzy]

Nå ser det bedre ut ja. En liten ting til Der du bruker [tex]\Leftrightarrow[/tex] skal det egentlig stå [tex]=[/tex]. Du skal jo faktisk vise at v.s. og h.s. er like, skal du ikke? Ekvivalens har man mellom logiske påstander (f.eks. mellom ligninger, ulikheter, og andre former for logiske utsagn), ikke mellom tall og matematiske uttrykk.

Done! Takk, har akkurat hatt logikk - så denne kommentaren passet veldig bra.

[Razzy]

En tilsvarende tråd finnes allerede her.

Takk, skal se å lære