matematisk modell for fordamping av vanndråper

[Janhaa]

jeg holder på med å sette opp ett uttrykk for fordampinga av vanndråper som funksjon av tida (t). Antar vanndråpen har form som kulekalott (spherical cap). Hvis en tenker "vanlig", så er f eks endringa høyden (y) i vanndråpa pr tidsenhet (t) proporsjonal med opprinnelig høyde (h) i dråpa (anta kulekalott). Dvs
[tex]\frac{dy}{dt} = y^,(t) = -k*y[/tex]
men denne separable diff.lik gir jo " bare" en exp likning. Og den er ikke i tråd med eksperimenter som jeg har utført på lab.
Der gjenværende masse som funksjon av tid tilpasses best ett 2. gradspolynom i følge korrelasjonskoeff, R^2.
Men kan en tenke Torricellis lov her? Altså, noe sånt: er høyden (eller vannmengden) i dråpe/kulekalott som fordamper ut gjennom overflatearealet (a) til kulekalotten pr tidsenhet proporsjonal med kvadratroten av starthøyden i dråpa (anta kulekalott).
Dvs
[tex]d(a*A*y)/dt = a*A*y^,(t) = -k*\sqrt y[/tex]
der A = plateareal som dråpen ligger på.
løsninga på denne andre separable diff likninga være noe sånt:
for y(0) = h, er
[tex]y(t) = (\frac{-k}{2a*A}*t + \sqrt h)^2[/tex]
som likner mer på eksperimentene/
dette jo bare teoretisk/matematisk, og inkluderer ikke hvilke fordampingsmekanismer som regjerer og dominerer.

Men holder dette mål? I Torricellis lov vil jo det lille hullet (arealet) være konstant, mens her endres overflatearealet (a) til kulekalotten under fordampinga.
Kanskje a kan uttrykkes ved hjelp av kontaktvinkelen mellom dråpe og plate/flate?
Noen som har synspunkter?

[espen180]

Jeg ville tro at fordampningshastigheten er tilnærmet proporsjonal med overflatearealet til dråpen. Hvis vi setter

[tex]\dot{V}=2\pi r^2\dot{r}=kr^2[/tex]

får vi at [tex]r(t)=r_0-\frac{kt}{2\pi}[/tex], gitt at kontaktvinkelen alltid er 90 grader.

Hvordan ser de eksperimentelle verdiene dine ut?

[Janhaa]

Jeg ville tro at fordampningshastigheten er tilnærmet proporsjonal med overflatearealet til dråpen. Hvis vi setter
[tex]\dot{V}=2\pi r^2\dot{r}=kr^2[/tex]
får vi at [tex]r(t)=r_0-\frac{kt}{2\pi}[/tex], gitt at kontaktvinkelen alltid er 90 grader.
Hvordan ser de eksperimentelle verdiene dine ut?

takker for svar,

de eksperimentelle dataene varierer litt, avhengig bl annet av hvilke type plate-materiale jeg bruker.
altså hvilke materiale dråpene fordamper på. bruker 3 ulike typer platematerialer.
der er dog sammenheng på de samme platematerialene.

jeg har tatt bilde av dråpene og vet formen likner mer på en kulekalott, enn en halvkule.
mulig dette blir for komplisert, siden kontaktvinkelen trolig også forandrer seg (den er ikke konstant 90 grader). avhenger av wetting/non-wetting conditions.
dette er relatert til surface tension og laplace-trykket (overtrykket mellom innside og ambient).

ser du har antatt halvkule-volum. men jeg skal prøve med kulekalott-volumet. det er lett å utlede, samme som kule, men integrasjonsgrenser fra (R-h) til R. Der R er radius i kula dråpen er en del av, h er høyden av kulekalott. mulig jeg kan utlede kulekalott-volumet som funksjon av kontaktvinkelen.

artig saker dette...

[Janhaa]

Jeg ville tro at fordampningshastigheten er tilnærmet proporsjonal med overflatearealet til dråpen. Hvis vi setter
[tex]\dot{V}=2\pi r^2\dot{r}=kr^2[/tex]
får vi at [tex]r(t)=r_0-\frac{kt}{2\pi}[/tex], gitt at kontaktvinkelen alltid er 90 grader.
Hvordan ser de eksperimentelle verdiene dine ut?

hvis jeg anvender din hypotese på antagelse om kulekalott-form på dråpe:

[tex]V(\text kulekalott)=\pi h^2(R-\frac{h}{3})[/tex]
der
[tex]\dot{V}=2\pi h \dot{h}(R-\frac{h}{3})+\pi h^2(\dot{R}-\frac{\dot{h}}{3})=kRh[/tex]

Der R er radius i kula dråpen er en del av, h er høyden av kulekalott.

[espen180]

Jeg ville forsøkt å måle h som funksjon av R eller omvendt, og så bruke kjerneregelen.

[Janhaa]

Jeg ville forsøkt å måle h som funksjon av R eller omvendt, og så bruke kjerneregelen.

jeg klarte faktisk å utlede 2 uttrykk for både kulekalott-volumet og dens overflateareal, "bare" som funksjon av dråperadius og kontaktvinkel (mellom dråpen og horisontal-underlaget).

brukte dobbelt-integral på V(kulekalott) og "vanlig" integral på overflatearealet.