Sammenlikningskriteriet

[Razzy]

Spørsmål:


Jeg jobbet med denne rekken: [tex]$$\sum\limits_{n = 1}^\infty {{1 \over {{k^2} + 2k + 1}}} $$[/tex]

[tex]$${Jeg\;m{\aa}\;gange\;med\;{1 \over 5}\;for\;kravet\;om\;at\;k \ge 1\;er\;oppfylt, \cr hvor\;viktig\;er\;\det \;egentlig? \cr} $$[/tex]


Er dette bomesikre greier som jeg må forsikre meg om (ved noen tilfeller å teste til jeg får store nok verdier - og rekken tilsynelatende er større enn den jeg sammenligner med)?


Bare syntes å gange hele rekken med 1/5 virket mye, men som han skriver ovenfor det påvirker ikke rekkens divergens.

[Vektormannen]

Hvilket krav snakker du om? Hvor kommer det fra?

Det du bør gjøre her er å se om du kan få skrevet nevneren på noen annen måte. Gjenkjenner du en kvadratsetning her?

[Razzy]

Hvilket krav snakker du om? Hvor kommer det fra?

Det du bør gjøre her er å se om du kan få skrevet nevneren på noen annen måte. Gjenkjenner du en kvadratsetning her?

Alle [tex]$$n \ge 1$$[/tex] skal gi positive verdier for begge rekker.

For at rekke [tex]$$\left\{ {{a_n}} \right\} \ge \left\{ {{b_n}} \right\}\;$$[/tex] rekken jeg sammenligner med, må denne k være større eller lik 1 (nest siste linje i eks ovenfor).


Fikk nemlig at k>1 men kunne ikke være k=1 for da ble det lik 0.

Tror jeg bare tenker for mye Vektormannen.

[Vektormannen]

Hva er det som blir 0 når k = 1? Altså, k går jo fra 1 og oppover utover i rekken?

Her ville jeg nok heller sett på hvordan rekken ser ut når du faktoriserer den slik jeg foreslo ovenfor. Kan rekken sammenlignes med noe da?

[Razzy]

Hva er det som blir 0 når k = 1? Altså, k går jo fra 1 og oppover utover i rekken?

Her ville jeg nok heller sett på hvordan rekken ser ut når du faktoriserer den slik jeg foreslo ovenfor. Kan rekken sammenlignes med noe da?

Grense-sammenlikningskriteriet:

[tex]$$\sum\limits_{n = 1}^\infty {{1 \over {{n^2} + 2n + 1}}} $$[/tex] der alle ledd er positive.

[tex]$${L = {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{\frac{1}{n^2+2n+1}}{\frac{1}{n^2}} \cdot {{{n^2}} \over {{n^2}}} = {\lim }\limits_{n \to \infty } {{{n^2}} \over {{n^2} + 2n + 1}} = {\lim}\limits_{n \to \infty } \frac{1}{1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}} = {1 \over {1 + 0 + 0}} = 1 \cr \cr} $$[/tex]

Grenseverdien eksisterer og er forskjellig fra null. Derfor må begge rekkene konvergere som forutsagt.

EDIT: Merk at begge rekkene konvergerer ca. like fort mot 0 da resultatet av bruken er 1.

[Vektormannen]

I den andre tråden var du veldig påpaselig med at du skulle bruke grensesammenligningskriteriet. Her står det da bare sammenligningskriteriet?

Hvis du ser (som hintet til ovenfor) at [tex]\frac{1}{n^2 + 2n + } = \frac{1}{(n+1)^2}[/tex], kan du da si noe om dette i forhold til [tex]\frac{1}{n^2}[/tex]?

[Razzy]

I den andre tråden var du veldig påpaselig med at du skulle bruke grensesammenligningskriteriet. Her står det da bare sammenligningskriteriet?

Hvis du ser (som hintet til ovenfor) at [tex]\frac{1}{n^2 + 2n + } = \frac{1}{(n+1)^2}[/tex], kan du da si noe om dette i forhold til [tex]\frac{1}{n^2}[/tex]?

Ja beklager det, går visst over mine egne tær her

Tilbake til kun sammenlikningskriteriet og spørsmålet ditt:

[tex]$${\lim }\limits_{n \to \infty } {1 \over {{{(n + 1)}^2}}} \approx {\lim }\limits_{n \to \infty } {1 \over {{n^2}}}$$[/tex]

Når [tex]$${1 \over {{{(n + 1)}^2}}}$$[/tex] så spiller +1 el. -1 ingen rolle, og derfor vil denne oppføre seg som [tex]$${1 \over {{n^2}}}$$[/tex] når n går mot uendelig.

Og dette gir oss jo en indikasjon på hvilken p-rekke vi må sammenlikne med.

Var det dette du var ute etter? Bra du ikke gir deg før du får svar! hehe

[Vektormannen]

Hehe, kan ikke det vet du

Husk at sammenligningskriteriet har ingenting med grenser å gjøre. Her har du at leddene i rekken er på formen [tex]\frac{1}{(n+1)^2}[/tex]. Denne har nesten samme form som den kjente p-rekken med ledd [tex]\frac{1}{n^2}[/tex]. Hva er det du må vise i følge sammenligningskriteriet?

[Razzy]

Hehe, kan ikke det vet du

Husk at sammenligningskriteriet har ingenting med grenser å gjøre. Her har du at leddene i rekken er på formen [tex]\frac{1}{(n+1)^2}[/tex]. Denne har nesten samme form som den kjente p-rekken med ledd [tex]\frac{1}{n^2}[/tex]. Hva er det du må vise i følge sammenligningskriteriet?

Jeg må vise at leddene i tallfølge a er større enn i tallfølge b. (later som det er tallfølge)

Matematisk skrevet: [tex]$${a_n} \ge {b_n} \ge 0\;\;\;for\;\;alle\;\;n \ge 1.$$[/tex]

[tex]$${a_n} = {1 \over {{{(n + 1)}^2}}} = {1 \over 2} + {1 \over 9} + {1 \over {16}} + {1 \over {25}}$$[/tex]

[tex]$${b_n} = {1 \over {{n^2}}} = {1 \over 1} + {1 \over 4} + {1 \over 9} + {1 \over {16}}$$[/tex]

det er ikke tilfellet her... I følge et eksempel jeg har kan jeg gange rekke b med f.eks. 1/2 (fordi en konstant gange med en rekke som allerede konvergerer vil fortsatt konvergere)

[Vektormannen]

Nå blander du hva som er [tex]a_n[/tex] og [tex]b_n[/tex] her. Leddene i rekken du ønsker å vise at konvergerer må være mindre eller lik leddene i rekken du vet konvergerer. Jeg håper du ser at det gir mening? Her må altså [tex]a_n = \frac{1}{n^2}[/tex] og [tex]b_n = \frac{1}{(n+1)^2}[/tex]. Med på det?

[Razzy]

Nå blander du hva som er [tex]a_n[/tex] og [tex]b_n[/tex] her. Leddene i rekken du ønsker å vise at konvergerer må være mindre eller lik leddene i rekken du vet konvergerer. Jeg håper du ser at det gir mening? Her må altså [tex]a_n = \frac{1}{n^2}[/tex] og [tex]b_n = \frac{1}{(n+1)^2}[/tex]. Med på det?

Jeg er med. Det ville vært rart hvis [tex]$${1 \over {{{(n + 1)}^2}}} \ge {1 \over {{n^2}}}$$[/tex], for det ville betydd at [tex]$${1 \over {{{(n + 1)}^2}}}$$[/tex] kunne gått mot uendelig og ulikheten fortsatt var gyldig.

Det ville ikke vært riktig.