matematikk.net

Spørsmål:


Jeg jobbet med denne rekken: [tex]$$\sum\limits_{n = 1}^\infty {{1 \over {{k^2} + 2k + 1}}} $$[/tex]

[tex]$${Jeg\;m{\aa}\;gange\;med\;{1 \over 5}\;for\;kravet\;om\;at\;k \ge 1\;er\;oppfylt, \cr hvor\;viktig\;er\;\det \;egentlig? \cr} $$[/tex]


Er dette bomesikre greier som jeg må forsikre meg om (ved noen tilfeller å teste til jeg får store nok verdier - og rekken tilsynelatende er større enn den jeg sammenligner med)?


Bare syntes å gange hele rekken med 1/5 virket mye, men som han skriver ovenfor det påvirker ikke rekkens divergens.

Hvilket krav snakker du om? Hvor kommer det fra?

Det du bør gjøre her er å se om du kan få skrevet nevneren på noen annen måte. Gjenkjenner du en kvadratsetning her?

Vektormannen wrote:Hvilket krav snakker du om? Hvor kommer det fra?

Det du bør gjøre her er å se om du kan få skrevet nevneren på noen annen måte. Gjenkjenner du en kvadratsetning her?

Alle [tex]$$n \ge 1$$[/tex] skal gi positive verdier for begge rekker.

For at rekke [tex]$$\left\{ {{a_n}} \right\} \ge \left\{ {{b_n}} \right\}\;$$[/tex] rekken jeg sammenligner med, må denne k være større eller lik 1 (nest siste linje i eks ovenfor).


Fikk nemlig at k>1 men kunne ikke være k=1 for da ble det lik 0.

Tror jeg bare tenker for mye Vektormannen.

Hva er det som blir 0 når k = 1? Altså, k går jo fra 1 og oppover utover i rekken?

Her ville jeg nok heller sett på hvordan rekken ser ut når du faktoriserer den slik jeg foreslo ovenfor. Kan rekken sammenlignes med noe da?

Vektormannen wrote:Hva er det som blir 0 når k = 1? Altså, k går jo fra 1 og oppover utover i rekken?

Her ville jeg nok heller sett på hvordan rekken ser ut når du faktoriserer den slik jeg foreslo ovenfor. Kan rekken sammenlignes med noe da?

Grense-sammenlikningskriteriet:

[tex]$$\sum\limits_{n = 1}^\infty {{1 \over {{n^2} + 2n + 1}}} $$[/tex] der alle ledd er positive.

[tex]$${L = {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{\frac{1}{n^2+2n+1}}{\frac{1}{n^2}} \cdot {{{n^2}} \over {{n^2}}} = {\lim }\limits_{n \to \infty } {{{n^2}} \over {{n^2} + 2n + 1}} = {\lim}\limits_{n \to \infty } \frac{1}{1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}} = {1 \over {1 + 0 + 0}} = 1 \cr \cr} $$[/tex]

Grenseverdien eksisterer og er forskjellig fra null. Derfor må begge rekkene konvergere som forutsagt.

EDIT: Merk at begge rekkene konvergerer ca. like fort mot 0 da resultatet av bruken er 1.

I den andre tråden var du veldig påpaselig med at du skulle bruke grensesammenligningskriteriet. Her står det da bare sammenligningskriteriet?

Hvis du ser (som hintet til ovenfor) at [tex]\frac{1}{n^2 + 2n + } = \frac{1}{(n+1)^2}[/tex], kan du da si noe om dette i forhold til [tex]\frac{1}{n^2}[/tex]?

Vektormannen wrote:I den andre tråden var du veldig påpaselig med at du skulle bruke grensesammenligningskriteriet. Her står det da bare sammenligningskriteriet?

Hvis du ser (som hintet til ovenfor) at [tex]\frac{1}{n^2 + 2n + } = \frac{1}{(n+1)^2}[/tex], kan du da si noe om dette i forhold til [tex]\frac{1}{n^2}[/tex]?

Ja beklager det, går visst over mine egne tær her

Tilbake til kun sammenlikningskriteriet og spørsmålet ditt:

[tex]$${\lim }\limits_{n \to \infty } {1 \over {{{(n + 1)}^2}}} \approx {\lim }\limits_{n \to \infty } {1 \over {{n^2}}}$$[/tex]

Når [tex]$${1 \over {{{(n + 1)}^2}}}$$[/tex] så spiller +1 el. -1 ingen rolle, og derfor vil denne oppføre seg som [tex]$${1 \over {{n^2}}}$$[/tex] når n går mot uendelig.

Og dette gir oss jo en indikasjon på hvilken p-rekke vi må sammenlikne med.

Var det dette du var ute etter? Bra du ikke gir deg før du får svar! hehe

Hehe, kan ikke det vet du

Husk at sammenligningskriteriet har ingenting med grenser å gjøre. Her har du at leddene i rekken er på formen [tex]\frac{1}{(n+1)^2}[/tex]. Denne har nesten samme form som den kjente p-rekken med ledd [tex]\frac{1}{n^2}[/tex]. Hva er det du må vise i følge sammenligningskriteriet?

Vektormannen wrote:Hehe, kan ikke det vet du

Husk at sammenligningskriteriet har ingenting med grenser å gjøre. Her har du at leddene i rekken er på formen [tex]\frac{1}{(n+1)^2}[/tex]. Denne har nesten samme form som den kjente p-rekken med ledd [tex]\frac{1}{n^2}[/tex]. Hva er det du må vise i følge sammenligningskriteriet?

Jeg må vise at leddene i tallfølge a er større enn i tallfølge b. (later som det er tallfølge)

Matematisk skrevet: [tex]$${a_n} \ge {b_n} \ge 0\;\;\;for\;\;alle\;\;n \ge 1.$$[/tex]

[tex]$${a_n} = {1 \over {{{(n + 1)}^2}}} = {1 \over 2} + {1 \over 9} + {1 \over {16}} + {1 \over {25}}$$[/tex]

[tex]$${b_n} = {1 \over {{n^2}}} = {1 \over 1} + {1 \over 4} + {1 \over 9} + {1 \over {16}}$$[/tex]

det er ikke tilfellet her... I følge et eksempel jeg har kan jeg gange rekke b med f.eks. 1/2 (fordi en konstant gange med en rekke som allerede konvergerer vil fortsatt konvergere)

Nå blander du hva som er [tex]a_n[/tex] og [tex]b_n[/tex] her. Leddene i rekken du ønsker å vise at konvergerer må være mindre eller lik leddene i rekken du vet konvergerer. Jeg håper du ser at det gir mening? Her må altså [tex]a_n = \frac{1}{n^2}[/tex] og [tex]b_n = \frac{1}{(n+1)^2}[/tex]. Med på det?

Vektormannen wrote:Nå blander du hva som er [tex]a_n[/tex] og [tex]b_n[/tex] her. Leddene i rekken du ønsker å vise at konvergerer må være mindre eller lik leddene i rekken du vet konvergerer. Jeg håper du ser at det gir mening? Her må altså [tex]a_n = \frac{1}{n^2}[/tex] og [tex]b_n = \frac{1}{(n+1)^2}[/tex]. Med på det?

Jeg er med. Det ville vært rart hvis [tex]$${1 \over {{{(n + 1)}^2}}} \ge {1 \over {{n^2}}}$$[/tex], for det ville betydd at [tex]$${1 \over {{{(n + 1)}^2}}}$$[/tex] kunne gått mot uendelig og ulikheten fortsatt var gyldig.

Det ville ikke vært riktig.