Integralkriteriet 3

[Razzy]

Heia.

Holder på med:

[tex]$$\sum\limits_{n = 1}^\infty {{1 \over {n\left( {n + 1} \right)}}}$$ [/tex]

Har definert en funksjon, integrert og er på slutten av oppgaven:

[tex]$$\int_1^\infty {{1 \over {x\left( {x + 1} \right)}}dx} $$[/tex]

[tex]$${\lim }\limits_{t \to \infty } \left[ {\ln x - \ln \left( {x + 1} \right)} \right]_1^t$$[/tex]

[tex]$${\lim }\limits_{t \to \infty } \left[ {\ln t - \ln \left( {t + 1} \right) + \ln 2} \right]$$[/tex]


Begge ln uttrykkene kan ikke gå mot uendelig? Svaret skal være at den konvergerer, noe den etter hva jeg har fått med meg kun gjør når grenseverdien går mot 0?? (var det skivebom..)

Hvertfall hvis grenseverdien ikke er lik null (f.eks. 1,2,3,4,...) eller at denne grenseverdien ikke eksisterer så divergerer rekken.

[Vektormannen]

Jo, begge ln-uttrykkene går mot uendelig. Men differansen mellom dem går mot 0 (de er nesten like, og blir mer og mer like, jo større t blir.) Du kan beregne grenseverdien ved å bruke at [tex]\ln t - \ln(t+1) = \ln \frac{t}{t+1}[/tex].

edit: Det er ikke slik at integralet må gå mot 0, men det må gå mot et endelig tall. Hvis du tenker litt over hva integraltesten egentlig gjør så tror jeg du ser at det må være slik.

[Nebuchadnezzar]

Evnt legg merke til at rekka de er teleskoperende razzy!

(Les litt om dette!)

[Razzy]

Jo, begge ln-uttrykkene går mot uendelig. Men differansen mellom dem går mot 0 (de er nesten like, og blir mer og mer like, jo større t blir.) Du kan beregne grenseverdien ved å bruke at [tex]\ln t - \ln(t+1) = \ln \frac{t}{t+1}[/tex].

edit: Det er ikke slik at integralet må gå mot 0, men det må gå mot et endelig tall. Hvis du tenker litt over hva integraltesten egentlig gjør så tror jeg du ser at det må være slik.

Integraltesten ser på arealet under grafen når n går mot uendelig.

Hvis dette arealet ikke er der, eller er uendelig stort divergerer det.

Hvis arealet kan oppgis med et tall (det er en grenseverdi) - det kan f.eks. være 0. Sier vi at det konvergerer.

Har jeg rett? Em I right?

[Razzy]

Evnt legg merke til at rekka de er teleskoperende razzy!

(Les litt om dette!)

Tøft ord. Dette skal jeg se nærmere på.

Slenger inn et spm til:

[tex]$${\lim }\limits_{t \to \infty } \left( {\ln t - \ln 0} \right) = \infty - ?$$[/tex] divergent?

Wolfram sa at ln 0 er = - uendelig.

Da blir det jo: [tex]$${\lim }\limits_{t \to \infty } \left( {\ln t - \ln 0} \right) = \infty - \left( { - \infty } \right) = 0$$[/tex]

betyr det divergent eller konvergent? Inget areal under grafen, må jo bety at den nærmer seg null... (konvergerende)

[Vektormannen]

Først av alt vil jeg si at du ikke kan behandle [tex]\infty[/tex] som et tall. Det er slettes ikke slik at [tex]\infty - \infty = 0[/tex] og så videre. For det første gir et slikt uttrykk som på venstre side ingen mening, og for det andre er ikke [tex]\infty[/tex] et bestemt tall, men et symbol som representerer at noe vokser mot uendeligheten (blir større og større).

Når det er sagt så lurer jeg på hvordan du har kommet til [tex]\ln t - \ln 0[/tex]?

Edit: En annen ting: Du kan splitte en grense av en sum opp i biter hvis grensen av hver bit eksisterer. Hvis du får at noe nærmer seg [tex]\infty[/tex] så har det ingen grense.

[Nebuchadnezzar]

Husk på at grenser ikke er det samme som tall. Du kan ikke
trekke fra eller dele uendelig på hverandre for det er bare tull.

Se på for eksempel på følgende grense

[tex]\lim_{t \to \infty} \ t^k \cdot e^{-t} \ \ \text{der} \ \ k>1[/tex]

Her har du [tex]\infty \cdot 0[/tex], og grensen blir null, siden eksponentialfunksjonen synker mye raskere mot null, enn alle potensene av t vokser mot uendelig. Derimot om vi ser på grensen

[tex] \lim_{t \to \infty} \ t^k \cdot \sin\left( \frac{1}{t} \right) \ \ \text{hvor} \ \ k>1[/tex]

så divergerer denne grensen mot uendelig. Selv om vi igjen har en grense på formen [tex]\infty \cdot 0[/tex]. Forklaringen blir enkelt nok at [tex]t^k[/tex] vokser raskere enn [tex]\sin(1/t)[/tex] synker.

Poenget er bare at grenser er lumske greier siden du ikke vet hvor raskt noe vokser mot uendelig ( som er en grense og ikke et tall) så derfor blir subtraksjon, deling osv skummle saker.

[Razzy]

Først av alt vil jeg si at du ikke kan behandle [tex]\infty[/tex] som et tall. Det er slettes ikke slik at [tex]\infty - \infty = 0[/tex] og så videre. For det første gir et slikt uttrykk som på venstre side ingen mening, og for det andre er ikke [tex]\infty[/tex] et bestemt tall, men et symbol som representerer at noe vokser mot uendeligheten (blir større og større).

Når det er sagt så lurer jeg på hvordan du har kommet til [tex]\ln t - \ln 0[/tex]?

Edit: En annen ting: Du kan splitte en grense av en sum opp i biter hvis grensen av hver bit eksisterer. Hvis du får at noe nærmer seg [tex]\infty[/tex] så har det ingen grense.

Slik har jeg kommet frem til det:

[tex]$$\sum\limits_{n = 1}^\infty {{{\ln n} \over n}} $$[/tex]

* Avtakende, konvergerer mot 0, og positiv for alle ledd.

definerer: [tex]$$f\left( x \right) = {{\ln x} \over x}$$[/tex]

[tex]$$\int_1^\infty {{{\ln x} \over x}dx = } \int_0^\infty {{u \over \cancel x} \cdot \cancel x\;dx = {\lim }\limits_{t \to \infty } } \left[ {\ln x} \right]_0^t = {\lim }\limits_{t \to \infty } \left( {\ln t - \ln 0} \right)$$[/tex]

[tex]$$der;\;u = \ln x \Rightarrow u^\prime = {1 \over x} \Rightarrow {{du} \over {dx}} = {1 \over x} \Rightarrow dx = x \cdot du$$[/tex]

Nye grenser:

[tex]$${u_1} = \ln \infty = \infty $$[/tex]

[tex]$${u_2} = \ln 1 = 0$$[/tex]

[Nebuchadnezzar]

Du har integrert feil. Prøv alltid å deriverere svaret ditt =)

Feilen din ligger i at integralet av [tex]u[/tex] ikke er [tex]u[/tex] men [tex]u^2/2[/tex] ellers har du valgt riktig substitusjon.

Og når du bytter tilbake fra [tex]u[/tex] til [tex]x[/tex], må du huske å bytte tilbake grensene og slik at grensene dine blir [tex]1[/tex] og uendelig. Da ser du at integralet divergerer.[/tex]

[Razzy]

Du har integrert feil. Prøv alltid å deriverere svaret ditt =)

Feilen din ligger i at integralet av [tex]u[/tex] ikke er [tex]u[/tex] men [tex]u^2/2[/tex] ellers har du valgt riktig substitusjon.

Og når du bytter tilbake fra [tex]u[/tex] til [tex]x[/tex], må du huske å bytte tilbake grensene og slik at grensene dine blir [tex]1[/tex] og uendelig. Da ser du at integralet divergerer.[/tex]

Slik har jeg kommet frem til det:

[tex]$$\sum\limits_{n = 1}^\infty {{{\ln n} \over n}} $$[/tex]

* Avtakende, konvergerer mot 0, og positiv for alle ledd.

definerer: [tex]$$f\left( x \right) = {{\ln x} \over x}$$[/tex]

[tex]$$\int_1^\infty {{{\ln x} \over x}dx} = {\lim }\limits_{t \to \infty } \left[ {{{{1 \over x} \cdot x - \ln x \cdot 1} \over {{x^2}}}} \right]_1^t = {\lim }\limits_{t \to \infty } \left[ {{{1 - \ln x} \over {{x^2}}}} \right]_1^t$$[/tex]

[tex]$$ = {\lim }\limits_{t \to \infty } \left( {{{1 - \ln t} \over {{t^2}}} - \left( {{{1 - \ln 1} \over {{1^2}}}} \right)} \right) = {\lim }\limits_{t \to \infty } \left( {{{1 - \ln t} \over {{t^2}}} - 1} \right)$$[/tex]

der [tex]$${\lim }\limits_{t \to \infty } {{1 - \ln t} \over {{t^2}}} = 0\;\;da\;\ln t \ll {t^2}\;n{\aa}r\;t \to \infty .$$[/tex]


Integralet divergerer og dermed divergerer rekken. Bedre nå?


EDIT:

Feilen din ligger i at integralet av [tex]u[/tex] ikke er [tex]u[/tex] men [tex]u^2/2[/tex] ellers har du valgt riktig substitusjon.

Og når du bytter tilbake fra [tex]u[/tex] til [tex]x[/tex], må du huske å bytte tilbake grensene og slik at grensene dine blir [tex]1[/tex] og uendelig. Da ser du at integralet divergerer.[/tex]

Mye feil i det arbeidet der... Fant ikke helt utav hvordan det skulle løses ved substitusjon, men kvotientregelen (tipset av wolfram) førte frem. Det kan være gunstig å se om jeg kan løse denne oppgaven ved substitusjon.

[Nebuchadnezzar]

Virker som du bare trekker ut det du ønsker fra innleggene mine! DET ER RIKTIG Å VELGE SUBSTITUSJON, DU HAR GJORT NOE RIKTIG.

[tex]\int_1^\infty \frac{\log x}{x} \mathrm{d}x = \int_0^\infty u \mathrm{d}u \, = \, \left[ \frac{1}{2}u^2 \right]_0^\infty \, = \, \ldots[/tex]

Med substitusjonen [tex]u = \log x[/tex] eller

[tex]\int_1^\infty \frac{\log x}{x} \mathrm{d}x \, = \, \int_1^\infty \left( \log x\right)^\prime \log x \, \mathrm{d}t = \left[ \frac{1}{2}\log(x)^2\right]_1^\infty \, = \, \ldots[/tex]

Og kvotientregelen (brøkreglen) blir fy fy her. Du skal aldri blande integrasjon og derivasjon.

[Razzy]

Virker som du bare trekker ut det du ønsker fra innleggene mine! DET ER RIKTIG Å VELGE SUBSTITUSJON, DU HAR GJORT NOE RIKTIG.

[tex]\int_1^\infty \frac{\log x}{x} \mathrm{d}x = \int_0^\infty u \mathrm{d}u \, = \, \left[ \frac{1}{2}u^2 \right]_0^\infty \, = \, \ldots[/tex]

Med substitusjonen [tex]u = \log x[/tex] eller

[tex]\int_1^\infty \frac{\log x}{x} \mathrm{d}x \, = \, \int_1^\infty \left( \log x\right)^\prime \log x \, \mathrm{d}t = \left[ \frac{1}{2}\log(x)^2\right]_1^\infty \, = \, \ldots[/tex]

Og kvotientregelen (brøkreglen) blir fy fy her. Du skal aldri blande integrasjon og derivasjon.

Hei igjen

Er oppe tidlig idag, var visst litt sliten i går.

Uansett, den integrerte av u var 1/2 u^2 og resten gikk av seg selv