Finne høyden i en trekant

[malef]

Punktene A(-1,0,2), B(2,-1,3) og C(4,0,1) er hjørnene i en trekant ABC.
a) Finn lengdene av sidene i trekanten.
b) Finn arealet av trekanten.

a) [tex]|\vec{AB}|=\sqrt{11} \\ |\vec{AC}|=\sqrt{26} \\ |\vec{BC}|=3[/tex]

b) Her kunne jeg funnet arealet trigonometrisk eller med Herons formel. Fasiten sier at svaret er [tex]\frac{3}{2}\sqrt{10}[/tex], og eksaktverdien får meg til å tro at arealet er regnet ut ved hjelp av høyden. Hvordan finner jeg den?

[fuglagutt]

Arealet er det samme som 1/2 multiplisert med kryssproduktet til to vektorer fra samme hjørne (f.eks. AB og AC). Du kan også legge merke til at kryssproduktet i seg selv gir arealet av parallellogrammet, mens trekanten alltid vil være halvparten av et slikt parallellogram

En annen ting er at kryssproduktet (absoluttverdien av kryssproduktet) er det samme som |AB|*|AC|*sin (vinkel).

Mer om kryssprodukt kan du lese her:
http://no.wikipedia.org/wiki/Kryssprodukt

[malef]

Takk for svar! Boken har ikke tatt for seg kryssproduktet ennå, så det må finnes en annen måte å finne arealet på. Jeg klarer bare ikke å se hvordan jeg skal finne eller komme utenom å finne høyden.

[Janhaa]

Takk for svar! Boken har ikke tatt for seg kryssproduktet ennå, så det må finnes en annen måte å finne arealet på. Jeg klarer bare ikke å se hvordan jeg skal finne eller komme utenom å finne høyden.

finn vinkel BAC vha skalarproduktet mellom vektorene AB og AC.
Da er areal = 0,5*|AB|*|AC|*sin(BAC)

[malef]

finn vinkel BAC vha skalarproduktet mellom vektorene AB og AC.
Da er areal = 0,5*|AB|*|AC|*sin(BAC)

Takk! På den måten kommer jeg frem til en tilnærmingsverdi som ser riktig ut, men jeg kan vel ikke finne eksaktverdien på den måten?

[Janhaa]

finn vinkel BAC vha skalarproduktet mellom vektorene AB og AC.
Da er areal = 0,5*|AB|*|AC|*sin(BAC)

Takk! På den måten kommer jeg frem til en tilnærmingsverdi som ser riktig ut, men jeg kan vel ikke finne eksaktverdien på den måten?

joda

[tex]A=0,5*sqrt{11}*\sqrt{26}*\sin(\alpha)[/tex]
der
[tex]\cos(\alpha)=\frac{14}{\sqrt{286}}[/tex]
dvs
[tex]\alpha=\arccos\left(\frac{14}{\sqrt{286}}\right)[/tex]
og
[tex]A=0,5*sqrt{11}*\sqrt{26}*\sin(\arccos\left(\frac{14}{\sqrt{286}}\right))=\frac{\sqrt2}{2}3\sqrt5=\frac{3}{2}sqrt{10}[/tex]

[Janhaa]

altså

[tex]h=3\sqrt{\frac{5}{13}}[/tex]

[malef]

Takk! Dette var ny algebra for meg. Jeg visste ikke at jeg kan finne eksakt sinusverdi når jeg kjenner cosinusverdien.

Bare for å oppsummere for meg selv: [tex]\cos (\frac{14}{\sqrt{286}})[/tex] gir [tex]sin=\frac{3\sqrt{10}}{\sqrt{286}}[/tex] (forklaring her)

Da er arealet [tex]\frac{3\sqrt{10}\cdot\sqrt{11}\cdot\sqrt{26}}{2\sqrt{286}}=\frac{3}{2}\sqrt{10}[/tex]

Må si jeg synes dette var en vanskelig oppgave!