Bruk enten sml-testen eller grense-sml-testen del 2
Posted: 03/09-2012 17:25
[tex]$$\sum\limits_{n = 1}^\infty {{1 \over {{n^2}\ln n}}} $$[/tex]
Før jeg begynner vil jeg prøve meg på sammenlikningskriteriet som kan gi litt lettere regning enn ved grense-sml kriteriet
Løsningsforslag:
Jeg vil forsøke å bevise konvergens da
[tex]$${1 \over {{n^2}\ln n}}$$[/tex] vil ligne mer og mer på: [tex]$${1 \over {{n^2}}}$$[/tex] når n blir veldig stor.
Dette er som kjent en konvergerende p-rekke.
Jeg ønsker å bevise at: [tex]$${a_n} \le C \cdot {b_n}$$[/tex] der [tex]{a_n}[/tex] eller rekken jeg har fått oppgitt og [tex]{b_n}[/tex] er p-rekken jeg kjenner til.
Vi får at: [tex]$${1 \over {{n^2}\ln n}} \;<\; {{\ln n} \over {{n^2}\ln n}} = {1 \over {{n^2}}}$$[/tex]
[tex]$$Merk\;at:\;\log n \;<\; n\;og\;1 \;<\; \ln n$$[/tex]
(vi økte størrelsen på teller som gjorde verdien av brøken større)
[tex]$$ \Rightarrow $$[/tex] Dette er nok bevis for at [tex]$$\sum\limits_{n = 1}^\infty {{1 \over {{n^2}\ln n}}} $$[/tex] konvergerer!
Hvis dette er riktig her jeg mildt sagt stolt!
Før jeg begynner vil jeg prøve meg på sammenlikningskriteriet som kan gi litt lettere regning enn ved grense-sml kriteriet
Løsningsforslag:
Jeg vil forsøke å bevise konvergens da
[tex]$${1 \over {{n^2}\ln n}}$$[/tex] vil ligne mer og mer på: [tex]$${1 \over {{n^2}}}$$[/tex] når n blir veldig stor.
Dette er som kjent en konvergerende p-rekke.
Jeg ønsker å bevise at: [tex]$${a_n} \le C \cdot {b_n}$$[/tex] der [tex]{a_n}[/tex] eller rekken jeg har fått oppgitt og [tex]{b_n}[/tex] er p-rekken jeg kjenner til.
Vi får at: [tex]$${1 \over {{n^2}\ln n}} \;<\; {{\ln n} \over {{n^2}\ln n}} = {1 \over {{n^2}}}$$[/tex]
[tex]$$Merk\;at:\;\log n \;<\; n\;og\;1 \;<\; \ln n$$[/tex]
(vi økte størrelsen på teller som gjorde verdien av brøken større)
[tex]$$ \Rightarrow $$[/tex] Dette er nok bevis for at [tex]$$\sum\limits_{n = 1}^\infty {{1 \over {{n^2}\ln n}}} $$[/tex] konvergerer!
Hvis dette er riktig her jeg mildt sagt stolt!
