Bruk enten sml-testen eller grense-sml-testen del 3

[Razzy]

[tex]$$\sum\limits_{n = 1}^\infty {{{\ln n} \over {{n^2}}}} $$[/tex]


Løsningsforslag (sml-test):

[tex]$$\sum\limits_{n = 1}^\infty {{{\ln n} \over {{n^2}}}} $$[/tex]

[tex]$${{\ln n} \over {{n^2}}}\; \approx {1 \over {{n^2}}}\;n{\aa}r\;n \to \infty $$[/tex]

Ønsker å bevise [tex]$${a_n} \le C \cdot {b_n}$$[/tex] da p-rekken konvergerer.

[tex]$${{\ln n} \over {{n^2}}}\; < \;{{\sqrt n } \over {{n^2}}} = \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}} $$[/tex]

[tex]$$da\;\ln (n)\; < \;\sqrt n $$[/tex]

(økte størrelsen på telleren)


[tex]$$ \Rightarrow $$[/tex] [tex]$$\sum\limits_{n = 1}^\infty {{{\ln n} \over {{n^2}}}} $$[/tex] må konvergere.


Dette kunne jeg kontrollert med en L'Hoptial da vi har
[tex]$${\infty \over \infty }$$[/tex] til å begynne med.

[drgz]

Hva er det du har problemer med her?

[Razzy]

Hva er det du har problemer med her?

Jeg har problemer med å se at det jeg faktisk gjør og måten jeg gjør det på er riktig og lovlig.

Er du enig at det kan løses slik og at det holder mål til eksamen?

[Vektormannen]

Det er forsåvidt riktig, men jeg tror ikke du hadde fått dette godtatt på eksamen uten noen videre begrunnelse av hvorfor [tex]\ln n < \sqrt n[/tex]. For meg er det i alle fall ikke åpenbart?

[Razzy]

Det er forsåvidt riktig, men jeg tror ikke du hadde fått dette godtatt på eksamen uten noen videre begrunnelse av hvorfor [tex]\ln n < \sqrt n[/tex]. For meg er det i alle fall ikke åpenbart?

Nei åpenbart er det ikke...

Hvis jeg hadde lagt til at;

[tex]$$\sum\limits_{n = 2}^\infty {\ln \left( n \right) = } 0,69 + 1,09 + 1,38 + 1,60 + ...$$[/tex]

[tex]$$\sum\limits_{n = 2}^\infty {{n^{{1 \over 2}}} = } 1,41 + 1,73 + 2 + 2,23 + ...$$[/tex]

Antar derfor at [tex]$$\sum\limits_{n = 2}^\infty {\ln \left( n \right) \;>\; } \sum\limits_{n = 2}^\infty {{n^{{1 \over 2}}}} \;for\;alle\;n.$$[/tex]

hm... men dette vet jeg faktisk ikke, og vil nødig bruke induksjon til å bevise dette!

Kanskje jeg burde forsøkt meg å grense-sml-kriteriet istedet. Er det noe du mener jeg kunne gjort som gjorde at denne oppgaven var med solid i forhold til de grepene jeg har valgt å bruke her?

[Vektormannen]

Pass på å ikke overkomplisere nå. Du trenger bare å vise at [tex]\ln n < \sqrt n[/tex]. Det involverer ikke rekkene med disse to som ledd i det hele tatt!

For å vise at [tex]\ln n < \sqrt n[/tex] så kan du definere funksjonen [tex]f(x) = \sqrt x - \ln x[/tex], der [tex]x \geq 1[/tex]. Hvis du kan vise at denne funksjonen alltid er positiv så vil det si at [tex]\ln n < \sqrt n[/tex] allitd gjelder for [tex]n \geq 1[/tex], ikke sant? For å vise at den er det så må du først vise at funksjonen er positiv når x = 1. Hvis du deretter viser at den deriverte aldri er negativ, så vil det bety at funksjonen aldri synker. Da er den nødt til å forbli positiv. Er du med på det?

Hvis du syns dette blir vanskelig så kan du prøve på f.eks. grensesammenligningstesten eller noe annet.

[Razzy]

Pass på å ikke overkomplisere nå. Du trenger bare å vise at [tex]\ln n < \sqrt n[/tex]. Det involverer ikke rekkene med disse to som ledd i det hele tatt!

Jeg er jo så flink til det!

For å vise at [tex]\ln n < \sqrt n[/tex] så kan du definere funksjonen [tex]f(x) = \sqrt x - \ln x[/tex], der [tex]x \geq 1[/tex]. Hvis du kan vise at denne funksjonen alltid er positiv så vil det si at [tex]\ln n < \sqrt n[/tex] allitd gjelder for [tex]n \geq 1[/tex], ikke sant? For å vise at den er det så må du først vise at funksjonen er positiv når x = 1. Hvis du deretter viser at den deriverte aldri er negativ, så vil det bety at funksjonen aldri synker. Da er den nødt til å forbli positiv. Er du med på det?

Ok, kan jo være verdt å gjøre dette da sammenlikningskriteriet kan gå endel fortere enn grense-sammenlikningskriteriet for min del.

Prøver meg! Takker igjen.

[Nebuchadnezzar]

En kan og for fremtidige oppgaver definere seg funksjonen

[tex]f(x) \,=\, x^a \,-\, \log(x)[/tex]

forså å prøve å finne ut den minste a`en slik at funksjonen
er positiv for all [tex]x>0[/tex]. Etter litt regning og derivasjon
kommer en frem til at [tex]a>1/e[/tex]. Og i forhold til din
oppgave så er [tex]1/2 > 1/e[/tex].

For å vise at noe er sant kan du ALDRI, bare teste ut noen verdier.
En må føre et bevis som viser at det er sant for alle verdier.
Skal en vise at en rekke er større enn en annen kan en ikke bare
skrive ut noen ledd og vips være ferdig.

Blir som å skrive ut de [tex]5[/tex] første leddene av

[tex]\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}[/tex] og [tex]\sum_{n=1}^\infty \frac{x^{10}}{n!} [/tex]

Og konkludere med at den siste rekka divergerer fordi leddene er større enn [tex]1/n[/tex]

Og om du ikke vet at noe er sant, elle rikke klarer å bevise det. IKKE bruk det i et bevis! BAre et hyggelig råd, har gått i sammme fella før =)

[Razzy]

Ville bare gi en takk til dere begge to - tiltross for at jeg ikke kom heelt i havn så har jeg lært en hel del!

Er nesten nødt til å begi meg utpå de andre oppgavene da vi har fått hele 4 sider med oppgaver for denne uken

EDIT: To av sidene er innlevering da...

[Nebuchadnezzar]

Lyst å bytte øvinger?

http://www.math.ntnu.no/emner/TMA4145/2 ... oving2.pdf

^^

(Bare tuller med deg, jobber du litt mer med dette sitter forståelsen sikkert snart)

[Razzy]

Lyst å bytte øvinger?

http://www.math.ntnu.no/emner/TMA4145/2 ... oving2.pdf

^^

(Bare tuller med deg, jobber du litt mer med dette sitter forståelsen sikkert snart)

Wow. Vet ikke om jeg hadde kommet så langt om jeg ville engang!

Hva er målet ditt Nebuchadnezzar ? Lektor - p.h.d. og professor - underviser?