Bruk av forholdstesten del 3

[Razzy]

[tex]$$\sum\limits_{n = 1}^\infty {{{n!} \over {\left( {2n} \right)!}}} $$[/tex]


Løsningsforslag:


[tex]$$L = {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{\frac{n!\cdot \left ( n+1 \right )}{\left ( 2\left ( n+1 \right ) \right )!}}{\frac{\not{n!}}{\left ( \not{2n} \right )!}}\cdot \frac{\frac{\left ( 2n \right )!}{n!}}{\frac{\left ( \not{2n} \right )!}{\not{n!}}} $$[/tex]

der telleren kommer av; [tex]$$\left( {n + 1} \right)! = n! \cdot \left( {n + 1} \right)$$[/tex]


[tex]$$L = {\lim }\limits_{n \to \infty } {{\left( {n + 1} \right) \cdot \left( {2n} \right)!} \over {\left( {2\left( {n + 1} \right)} \right)!}}$$[/tex]


Kommer ikke lengre. Har ikke helt forstått hvorfor man kan skrive: [tex]$$\left( {n + 1} \right)! = n! \cdot \left( {n + 1} \right)$$[/tex]

men kanskje hvis jeg forstår dette bedre at jeg kan skrive om nevneren [tex]{\left( {2\left( {n + 1} \right)} \right)!}[/tex] til noe jeg kan styrke ut i telleren med?

[Nebuchadnezzar]

vel putter du inn tall ser du det veldig enkelt. Eksempelvis så er

[tex]5! = 5 \cdot 4! [/tex]

I din oppgave kan du benytte deg av dette i teller, siden

[tex][2(n+1)]! = 2(n+1) \cdot (2n)![/tex]

[Razzy]

vel putter du inn tall ser du det veldig enkelt. Eksempelvis så er

[tex]5! = 5 \cdot 4! [/tex]

I din oppgave kan du benytte deg av dette i teller, siden

[tex][2(n+1)]! = 2(n+1) \cdot (2n)![/tex]

[tex]$$L = {\lim }\limits_{n \to \infty } {{\left( {n + 1} \right)\cdot\left( {2n} \right)!} \over {2\left( {n + 1} \right) \cdot \left( {2n} \right)!}} = {1 \over 2}$$[/tex]

[tex]$$der\;\left( {2\left( {n + 1} \right)} \right)! = 2\left( {n + 1} \right) \cdot \left( {2n} \right)!$$[/tex]


[tex]$$ \Rightarrow \sum\limits_{n = 1}^\infty {{{n!} \over {\left( {2n} \right)!}}} $$[/tex] konvergerer da [tex]L \;<\; 1[/tex].


Takk Nebu, skal merke meg denne overgangen - men hvordan tenkte du når du kom frem til dette?