Taylorrekke om x=0

[Razzy]

Hei


Finn Taylorrekken om x=0 til denne funksjonen:


[tex]$$\arctan \left( {3x} \right)$$[/tex]

(kan bruke kjente rekker)


Hvilken rekke ligner denne på?

Har jo sin og cos... noen tips til hva jeg kan bruke som kjent?

[Nebuchadnezzar]

Bruk at

[tex]\int \frac{1}{1+x^2}\,\mathrm{d}x \,=\, \arctan(x) [/tex]

og [tex]\sum_{n=0}^\infty (-x)^{2n} \,=\, \frac{1}{1+x^2}[/tex].

[Razzy]

[tex]$$\arctan x = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{{{{( - 1)}^n}} \over {2n + 1}}} {x^{2n + 1}}\quad {\rm{ for }}|x| < 1$$[/tex]

Fant på Wikipedia.


Er det greit å bruke dette?

[Nebuchadnezzar]

Nei.

[Razzy]

[tex]\int \frac{1}{1+x^2}\,\mathrm{d}t = \arctan(x) [/tex]

[tex]\arctan(x) = \int \sum_{n=0}^\infty (-x)^{2n} \mathrm{d}x[/tex]

Aha.. Ikke for å være lazy, men blir det ikke riktig å anta arctanx som kjent?

Eller regnes den ikke med blandt de "kjente"

[Razzy]

Nei.

Du er kjapp. Ok..

[Nebuchadnezzar]

Så du vet den er kjent bare fra å lese i formelboka di? ^^

Alternativt om du ikke ønsker å integrere er det ikke vanskelig å bare skrive ut et par ledd, og prøve å finne en lukket sum.

Taylorrekka er jo definert som

[tex]f(a) \,+\, \frac{f^\prime(a)}{1!}(x-a) \,+\, \frac{f^{\prime\prime}(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f^{\prime\prime\prime}(a)}{3!}(x-a)^3 \,+\, \ldots [/tex]

som og kan skrives som [tex]\sum_{n=0}^\infty \frac{f(a)^{n}}{n!}(x-a)^n[/tex]

Og du kjenner jo de deriverte av [tex]\arctan x[/tex]. Her setter du [tex]a=3x[/tex].

[Razzy]

Så du vet den er kjent bare fra å lese i formelboka di? ^^

Alternativt om du ikke ønsker å integrere er det ikke vanskelig å bare skrive ut et par ledd, og prøve å finne en lukket sum.

Taylorrekka er jo definert som

[tex]f(a) \,+\, \frac{f^\prime(a)}{1!}(x-a) \,+\, \frac{f^{\prime\prime}(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f^{\prime\prime\prime}(a)}{3!}(x-a)^3 \,+\, \ldots [/tex]

som og kan skrives som [tex]\sum_{n=0}^\infty \frac{f(a)^{n}}{n!}(x-a)^n[/tex]

Og du kjenner jo de deriverte av [tex]\arctan x[/tex]. Her setter du [tex]a=3x[/tex].

Det kunne jeg jo gjort, det er jo en metode som bør funke bra på de fleste funksjoner?

Men jeg bruker ikke "kjente rekker" når jeg gjør dette, eller kan jeg betrakte Taylors generelle rekke som den kjente?

Da er dette en metode for meg tror jeg.

EDIT: Her er et eks.

[Nebuchadnezzar]

Ønsker du å bruke kjente rekker, så bruker du det jeg skrev om integrasjon =)

Jeg vil si rekka til [tex]\arctan x[/tex] bør være kjent, men å benytte meg av denne om jeg skulle funnet taylorrekka til [tex]\arctan 3x[/tex], ville jeg ikke gjort. For da føler jeg, at jeg bruker det en skal vise.

[Razzy]

Ønsker du å bruke kjente rekker, så bruker du det jeg skrev om integrasjon =)

Jeg vil si rekka til [tex]\arctan x[/tex] bør være kjent, men å benytte meg av denne om jeg skulle funnet taylorrekka til [tex]\arctan 3x[/tex], ville jeg ikke gjort. For da føler jeg, at jeg bruker det en skal vise.

Ok, jeg vil integrere.

Kjent: [tex]$${1 \over {1 + x}} = 1 - x + {x^2} - {x^3} + {x^4} - \; \cdots = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{{\left( { - 1} \right)}^n}{x^n}} \;\;\;der\;\left| x \right| < 1.$$[/tex]

Videre vet vi at: [tex]$${d \over {dx}}{\tan ^{ - 1}}\left( x \right) = {1 \over {1 + {x^2}}}$$[/tex]


Vi erstatter [tex]$$x \to 3x$$[/tex] i den kjente rekka:

[tex]$$\int_0^x {{1 \over {1 + {{\left( {3t} \right)}^2}}}dt = } \int_0^x {\left( {1 - 3t + {{\left( {3t} \right)}^2} - {{\left( {3t} \right)}^3} + {{\left( {3t} \right)}^4} - \; \cdots } \right)dt} $$[/tex]

[tex]$${1 \over 3}{\tan ^{ - 1}}\left( {3x} \right) = x - {3 \over 2}{x^2} + {6 \over 3}{x^3} - {9 \over 4}{x^4} + {{81} \over 5}{x^5} - \; \cdots $$[/tex]

[tex]$${\tan ^{ - 1}}\left( {3x} \right) = 3x - {9 \over 2}{x^2} + {{18} \over 3}{x^3} - {{27} \over 4}{x^4} + {{243} \over 5}{x^5} - \; \cdots $$[/tex]

Det siste jeg trenger nå er et tips på hvordan jeg kan se at den siste linjen jeg skrev ovenfor er:

[tex]$$\sum\limits_{n = 0}^\infty {{{3^{2n + 1}}{x^{2n + 1}}} \over {2n + 1}} $$[/tex]


Er litt vanskelig å se for meg som er "rookie".

[Nebuchadnezzar]

[tex]\begin{align} \arctan x & = \int \frac{\mathrm{d}x}{1+x^2} \\ & = \int \left( \sum_{n=0}^{\infty} (-x)^{2n} \right)\,\mathrm{d}x \\ & = \sum_{n=0}^\infty \left( \int (-x)^{2n}\mathrm{d}x \right) \\ & =\sum_{n=0}^{\infty} -\frac{(-x)^{2n+1}}{2n+1} \,\mathrm{d}x\end{align}[/tex]

Herfra rydder du bare litt opp med å å bruke at [tex](-x)^{2n+1} = (-1)^{2n+1}x^{2n+1}[/tex]

EDIT: MEn du har ikke gjort noe feil, jeg bare syntes det er enklere å jobbe med summnotasjon, enn å skrive ut leddene. Blir litt med krøll og gå tilbake.

også har du vel en potensfeil, siden du bruker 1/(1+x) og ikke 1/(1+x^2)

[Razzy]

Hva skjer her?


[tex]$$\int_0^x {{1 \over {1 + {{\left( {3t} \right)}^2}}}dt = } \int_0^x {\left( {1 - 3t + {{\left( {3t} \right)}^2} - {{\left( {3t} \right)}^3} + {{\left( {3t} \right)}^4} - \; \cdots } \right)dt} $$[/tex]

[tex]$${1 \over 3}{\tan ^{ - 1}}\left( {3x} \right) = x - {3 \over 2}{x^2} + {9 \over 3}{x^3} - {{27} \over 4}{x^4} + {{81} \over 5}{x^5} - \; \cdots $$[/tex]

[tex]$${\tan ^{ - 1}}\left( {3x} \right) = 3x - {9 \over 2}{x^2} + 9{x^3} - {{81} \over 4}{x^4} + {{243} \over 5}{x^5} - \; \cdots $$[/tex]

Som skal i følge fasiten vært lik: [tex]$$\sum\limits_{n = 0}^\infty {{{{3^{2n + 1}}{x^{2n + 1}}} \over {2n + 1}}} $$[/tex]


Hvorfor får jeg av Wolfram: http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2 ... 82n%2B1%29

kun de positive leddene? Altså: [tex]$$3x,\;9{x^3},\;{{243} \over 5}{x^5}$$[/tex]


Har jeg løst oppgaven riktig nå?


(Nebu, takk for din verson også, skal notere meg den), men husk at jeg ikke går på NTNU

[Nebuchadnezzar]

Men for søren da, les hele innlegget mitt! ^^ Skrev at du hadde en potensfeil, siden vi har

[tex]\frac{1}{1+x} = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + \ldots [/tex]

[tex]\frac{1}{1-x^2} = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + x^8 - x^{10} + \ldots [/tex]

Selv om ikke du går på ntnu, skal du være kjent med summnotasjon. Og i hvert fall for meg går matematikk mye ut på å være lat, det vil si jeg vil skrive minst mulig. Så det å skrive ut rekker er stress. Luddige overganger, er altså gull =)