matematikk.net

Har et par oppgaver jeg lure på, har vært syk så denne øvinga blir litt på halv åtte.

Vis at underromet [tex]X \subset BC([a,b],\mathbb{R})[/tex] definert av

[tex]X = \left\{ f \in BC([a,b],\mathbb{R})\,\mid\,f(a)=f(b) \right\}[/tex]

er komplett.

Tenkte at her var det ulike måter å gå frem på. En er vel å si at vi vet at BC er komplett, og for å vise at et underrom er komplett må vi vise at rommet er lukket (closed). For å vise dette står jeg litt fast, en må vel vise at alle punkter er internepunkter, altså at alle sekvenser i BC konvergerer i BC, men ser ikke helt hvordan jeg skal klare å vise dette?

En måte (også den enkleste måten) er å vise at komplementet [tex]X^c[/tex] i BC er åpent. Dette er definisjonen av en lukket mengde. Du må først finne ut hva [tex]X^c[/tex] er.

Det holder å vise at for alle [tex]x\in X^c[/tex] fins en åpen omegn om x inneholdt i [tex]X^c[/tex]

Alternativ 2: Anta at X ikke er lukket. Det betyr at det fins et akkumulasjonspunkt (limit point) til X som ikke er et element i X.

La x være et slikt akkumulasjonspunkt. Du vet nå at [tex]x(a)\neq x(b)[/tex].

Finn en motsigelse ut fra dette.

(Hint: dersom x er et akkumulasjonspunkt til X vil enhver åpen omegn om x inneholde et element fra X)


EDIT: en annen tilnærming vil være å si at det fins en følge av elementer i X som konvergerer mot akkumulasjonspunktet x. Du kan da bruke dette til å finne en motsigelse ved å vise at det må eksistere et element i en slik følge som ikke er i X.