Optimalisering

[moni]

Kan noen hjelpe meg med denne?

En eske med volum 50 liter.

Grunnflaten er et rektangel. Skal ikke ha lokk.

Hva er minste overflaten O man kan få?

[2357]

Kall de to sidelengdene i rektangelet for x og y, og la z være høyden i esken.

Da er overflaten gitt ved xy + 2xz + 2yz. I tillegg har du bibetingelsen xyz=50.

[moni]

Åh, blir helt forvirra..

Hva gjør jeg videre:

O= 50/z + 100/y + 100/x

Har jo z-ledd, x-ledd og y-ledd

[wingeer]

Er Lagranges metode kjent for deg?

[moni]

Det har jeg aldri hørt om før.

Kan jeg ikke bruke 2x i stedenfor y, siden y er det dobbelte av x?

[Gustav]

Du kan eliminere z i uttrykket for O, og deretter løse ligningene [tex]\frac{\partial O}{\partial x}=\frac{\partial O}{\partial y}=0[/tex].

Du må også sjekke om minimum forekommer på grensen.

[wingeer]

Okey, det var unødvendig.
Vi har:
[tex]O(x,y,z) = xy + 2xz + 2yz[/tex]
og:
[tex]xyz=50 \Rightarrow z = 50/xy[/tex]

som gir at:

[tex]O(x,y) = xy + 100/y + 100/x[/tex]
Vi deriverer og får at:
[tex]\frac{\partial}{\partial x}O(x,y) = y - \frac{100}{x^2}[/tex]
[tex]\frac{\partial}{\partial y}O(x,y) = x - \frac{100}{y^2}[/tex]

Vi setter disse lik 0 og får:
[tex]y = \frac{100}{x^2}[/tex]
[tex]x = \frac{100}{y^2}[/tex]
Som gir at:
[tex]y=x=10^{\frac{2}{3}}[/tex]

Og siden
[tex]xyz=z(10^{\frac{2}{3}})^2 = 50[/tex]
så [tex]z=\frac{5^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{1}{3}}}[/tex]

Som plutarco sier over.