matematikk.net

Hei



[tex]$$\left( a \right)\;\;\;\;{y_n} - 5{y_{n - 1}} + 6{y_{n - 2}} = 0$$[/tex]


[tex]$$K.\;lign:\;\;{\lambda ^2} - 5\lambda + 6 = 0$$[/tex]


[tex]$$\lambda = {{ - \left( { - 5} \right) \pm \sqrt {{{\left( { - 5}\right)}^2} - 4 \cdot 1 \cdot 6} } \over {2 \cdot 1}} = {{5 \pm 1} \over 2} = \left\{ {\matrix{3 \cr 2 \cr } } \right.$$[/tex]


[tex]$$ \Rightarrow \underline{\underline {{y_n} = A \cdot {3^n} + B \cdot n \cdot {2^n}}} $$[/tex]



[tex]$$\left( b \right)\;\;\;\;{y_n} - 5{y_{n - 1}} + 6{y_{n - 2}} = 5 \cdot {4^n}$$[/tex]


... hva skjer med leddet: [tex]$$5 \cdot {4^n}$$[/tex]


FASIT: [tex]$${y_n} - 5{y_{n - 1}} + 6{y_{n - 2}} = 10 \cdot {4^{n + 1}}$$[/tex]

http://hugin.hin.no/moodle/file.php/1/2 ... ursjon.pdf

sjekk s. 11, 21

Du mener antakeligvis at løsningen av den homogene løsningen er

[tex]y_n \,=\, A 2^n \,+\, B 3^n[/tex]
Videre så antar vi at løsningen av den imhomogene likningen er summen av den partielle løsningen pluss den homogene.

Her er den homogene løsningen

[tex]h_n \,=\, A 2^n \,+\, B 3^n[/tex]

Siden vi har [tex]5 \cdot 4^n[/tex], kan vi tippe på den partielle løsningen er på formen [tex]p_n \,=\, B \cdot 4^n[/tex], innsetning gir oss da at

[tex]B \cdot 4^n \,-\, 5 \cdot B \cdot 4^{n-1} \,+\, 6 \cdot B \cdot 4^{n-2} \,=\, 5 \cdot 4^n[/tex]

[tex]B \,-\, 5 \cdot B \cdot 4^{-1} \,+\, 6 \cdot B \cdot 4^{-2} \,=\, 5 [/tex]

[tex]B \left(1 \,-\, 5 \cdot 4^{-1} \,+\, 6 \cdot 4^{-2} \right) \,=\, 5 [/tex]

[tex]B \,=\, \frac{5}{\,1 \,-\, 5 \cdot 4^{-1} \,+\, 6 \cdot 4^{-2}\,} \,=\, 40[/tex]

Altså er løsningen av likningen

[tex]y_n \,=\, h_n \,+\, p_n \,=\, A \cdot 3^n \,+\, B \cdot 2^n \,+\, 40 \cdot 4^n[/tex]

Litt faktorisering og triksing gir oss

[tex]y_n \,=\, h_n \,+\, p_n \,=\, A\cdot 3^n \,+\, B \cdot 2^n \,+\, 5 \cdot 2^{2n+3}[/tex]

Alternativt kan en og skrive [tex]40 \cdot 4^n \,=\, 10 \cdot 4^{n+1}[/tex],hva en foretrekker blir en smakssak. Dette vil jeg si er det endelige svaret. Dette stemmer overens med begge kalkulatorene mine, så antar det er fasiten som har slurva

Fra notatet: http://ansatte.uit.no/bda006/MatteNotat ... 2orden.pdf


Skriver B. Davidsen at den generelle løsningen av en differensligning er:

[tex]$${x_n} = A{x_{n - 1}} + B{x_{n - 2}} + f\left( n \right)$$[/tex]


Er det korrekt at i min oppgave:

[tex]$${y_n} - 5{y_{n - 1}} + 6{y_{n - 2}} = 5 \cdot {4^n}$$[/tex]

er [tex]$$f\left( n \right) = 5 \cdot {4^n}$$[/tex] ?


"det finnes ikke dumme spørsmål"