Derivasjon / Funksjonens maksima og minima

[Oppfinneren]

Hei. Sitter med en matteinnlevering, så var det en oppgave jeg satt meg litt fast på.

Oppgaven lyder som følger:

[symbol:funksjon] (x) = 2x^3+3x^2-12x+12

Om jeg da har forstått det rett skal man derivere funksjonen, som da gir:

[symbol:funksjon] `(x) = 6x^2+6x-12

Dette skal da settes inn i et fortegnsskjema. Det er da her jeg setter meg fast. Skal jeg først faktorisere den, noe som gir:

[symbol:funksjon] `(x)= 6(x^2+x-2)

Hvordan løser jeg da denne i forhold til fortegnsskjemaet ?

Setter pris på forklarende svar, da dette er noe jeg må lære meg.

På forhånd takk for svar.

[Vektormannen]

Husk på at hvis [tex]x = x_1[/tex] og [tex]x = x_2[/tex] er røtter i et andregradspolynom [tex]ax^2 + bx + c[/tex], så har vi at [tex]ax^2 + bx + c = a(x-x_1)(x-x_2)[/tex]. Med andre ord løser du først ligningen [tex]x^2 + x - 2 = 0[/tex], som gir deg røttene, og deretter kan du da faktorisere det slik som dette.

(En annen fremgangsmåte er å lage et fullstendig kvadrat og faktorisere ved hjelp av konjugatsetningen.)

[Oppfinneren]

Takk for raskt svar

Jeg ser jeg har skrevet noe feil i temaet på posten, det jeg ville finne først var hvor funksjonen var strengt avtagende og strengt voksende.

Jeg kjenner til det du skrev om, og regnet ut og fikk:

Strengt voksende: (<- , -2] , [1 , ->)
Strengt avtagende: [-2 , 1]

Dette fant jeg av og sette [symbol:funksjon] ´(x) inn i fortegnsskjema, hvorav fortegnet til [symbol:funksjon]´(x) er minus mellom -2 og 1 og pluss i de andre punktene.

Videre trenger jeg og finne funksjonens maksima og minima, hvor er noe usikker på hvordan jeg skal gå frem.

Original oppgave: ƒ (x) = 2x^3+3x^2-12x+12 Df = [3 , -2]

Jeg er nogenlunde klar over at man må gjøre x om til c (x=c), og at dersom funksjonsverdien f(c) er større eller lik alle funksjonsverdier f(x) for alle x nær c, har funksjonen et lokalt maksimum for x=c.

Er da litt usikker på hvordan jeg skal få dette ned på papiret

PS: hjertelig takk for raskt svar

[Vektormannen]

For en kontinuerlig funksjon på et åpent intervall så vil den deriverte være 0 og skifte fortegn i ekstremalpunktene (minima og maksima). Hvis du tenker over det så bør det gi mening -- når den deriverte går fra å være positiv til negativ eller omvendt, så går funksjonen fra å vokse til å avta, eller omvendt. Da må det punktet der den gjør det være et maksimum eller minimum, ikke sant?

I ditt tilfelle har du funnet ut at den vokser frem til x = -2, og i det punktet snur den til å avta. Da er x = -2 et maksimumspunkt. Helt tilsvarende tenker du for det andre ekstremalpunktet.

[Oppfinneren]

Det har du rett i.

Ser hva du mener.
Dette får jeg til og da bli:

Strengt voksende: (<- , -2] , [1 , ->)
Strengt avtagende: [-2 , 1]

Maksima: x = -2
Minima: x = 1

Hvordan finner jeg tilsvarende y-verdier? eller er det noe som ikke er nødvendig og oppgi i svaret til oppgavet?

[Vektormannen]

Det spørs jo hva oppgaven spør om det?

For å finne y-verdien til et punkt på grafen til en funksjon f, hva er det du vanligvis gjør da?

[Oppfinneren]

Dette er det oppgaven spør om :

Oppgave 8. Gitt funksjonen ƒ (x) = 2x^3+3x^2-12x+12 Df = [3 , -2]

Finn alle maksima og minima for f og avgjør hvor f er strengt voksende/Avtagende.

For å finne y verdiene tar du vel og setter x-verdiene inn i original funksjon?

som vil gi deg: f(-2)= 2*(-2)^3+3*(-2)^2-12*(-2)+12 = 32
f(1)= 2*1^3+3*1^3-12*1+12= 5

Maksima: (-2,32)
Minima: (1,5)

[Vektormannen]

Det stemmer det

En liten kommentar: Funksjonen er strengt voksende når f'(x) > 0 og strengt avtagende når f'(x) < 0. I x = -2 og x = 1 er f'(x) = 0, så i det punktet er ikke funksjonen strengt voksende eller avtagende. Intervallene dine skal altså være åpne i begge ender, ikke lukket.

[Oppfinneren]

Ah. Ser det nå ja. Takk for at du påpekte det!

Hjertelig takk for all hjelpen