Er 5 et primtall?
Posted: 04/10-2012 09:14
...når det er delelig på 2-i og 2+i?
Page 1 of 1
Posted: 04/10-2012 10:00
[tex]5 = (2-i)(2+i)[/tex]
Posted: 04/10-2012 10:03
Ja, det var poenget mitt. Kan det da likevel sies å være et primtall?
Posted: 04/10-2012 10:11
Er vel slik at vi krever at ethvert tall skal ha en unik primtallsfaktorisering. Og da må alle faktorene være reelle heltall. [tex]2 - i[/tex] og [tex]2 + i[/tex] er selvsagt ikke reelle heltall.
Et primtall er dermed et reellt tall, som bare er delelig på seg selv og 1 når vi ser på den reelle tallinja.
For eksempel så kan og [tex]5[/tex] skrives som
[tex]5 = 4 - (i)^{2n+2} = (2 - i^{2n+1})(2 + i^{2n+1})[/tex] hvor [tex]n \in \mathbb{N}[/tex],
Altså finnes det uendelig mange komplekse tall som deler 5, men det betyr ikke at disse er faktorer. Fordi per definisjon må faktorene være relle heltall.
Et primtall er dermed et reellt tall, som bare er delelig på seg selv og 1 når vi ser på den reelle tallinja.
For eksempel så kan og [tex]5[/tex] skrives som
[tex]5 = 4 - (i)^{2n+2} = (2 - i^{2n+1})(2 + i^{2n+1})[/tex] hvor [tex]n \in \mathbb{N}[/tex],
Altså finnes det uendelig mange komplekse tall som deler 5, men det betyr ikke at disse er faktorer. Fordi per definisjon må faktorene være relle heltall.
Posted: 04/10-2012 10:34
[tex]i = i [/tex]
[tex]i^{2}=-1[/tex]
[tex]i^{3}=-i[/tex]
[tex]i^{4}=1[/tex]
Vel,
[tex]5 = 4 - i^{4n+2} = (2-i^{2n+1})(2+i^{2n+1}) [/tex]
men [tex]i^{2n+1}[/tex] er [tex]-i[/tex] eller [tex]i [/tex] slik at det blir bare de samme faktorene uansett.
[tex]i^{2}=-1[/tex]
[tex]i^{3}=-i[/tex]
[tex]i^{4}=1[/tex]
Vel,
[tex]5 = 4 - i^{4n+2} = (2-i^{2n+1})(2+i^{2n+1}) [/tex]
men [tex]i^{2n+1}[/tex] er [tex]-i[/tex] eller [tex]i [/tex] slik at det blir bare de samme faktorene uansett.
Posted: 04/10-2012 11:56
Så det er, med andre ord, et primtall, men ikke et Gaussisk primtall?
Posted: 04/10-2012 13:21
Det stemmer. Bare primtallene på formen 4n+3 vil være Gaussiske primtall også (http://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_i ... eal_domain)
Posted: 04/10-2012 20:21
Ah nice. Mattelærern min nevnte dette i ei bisetning, så fikk jeg litt blod på tann 
Posted: 05/10-2012 21:16
5 er irredusibelt i Z (og derfor primisk, siden Z er et PID - "principal ideal domain". Her gjelder hvis og bare hvis, dvs. primisk <=> irredusibel).
5 er ikke irredusibelt over de gaussiske heltallene siden [tex]5=(2-i)(2+i)[/tex] og siden ingen av faktorene er "units" (divisorer av enhetselementet).
Tror det ble riktig. :p
5 er ikke irredusibelt over de gaussiske heltallene siden [tex]5=(2-i)(2+i)[/tex] og siden ingen av faktorene er "units" (divisorer av enhetselementet).
Tror det ble riktig. :p