Er 5 et primtall?

[Aleks855]

...når det er delelig på 2-i og 2+i?

[Nebuchadnezzar]

[tex]5 = (2-i)(2+i)[/tex]

[Aleks855]

Ja, det var poenget mitt. Kan det da likevel sies å være et primtall?

[Nebuchadnezzar]

Er vel slik at vi krever at ethvert tall skal ha en unik primtallsfaktorisering. Og da må alle faktorene være reelle heltall. [tex]2 - i[/tex] og [tex]2 + i[/tex] er selvsagt ikke reelle heltall.

Et primtall er dermed et reellt tall, som bare er delelig på seg selv og 1 når vi ser på den reelle tallinja.

For eksempel så kan og [tex]5[/tex] skrives som

[tex]5 = 4 - (i)^{2n+2} = (2 - i^{2n+1})(2 + i^{2n+1})[/tex] hvor [tex]n \in \mathbb{N}[/tex],

Altså finnes det uendelig mange komplekse tall som deler 5, men det betyr ikke at disse er faktorer. Fordi per definisjon må faktorene være relle heltall.

[Fibonacci92]

[tex]i = i [/tex]
[tex]i^{2}=-1[/tex]
[tex]i^{3}=-i[/tex]
[tex]i^{4}=1[/tex]

Vel,

[tex]5 = 4 - i^{4n+2} = (2-i^{2n+1})(2+i^{2n+1}) [/tex]

men [tex]i^{2n+1}[/tex] er [tex]-i[/tex] eller [tex]i [/tex] slik at det blir bare de samme faktorene uansett.

[Aleks855]

Så det er, med andre ord, et primtall, men ikke et Gaussisk primtall?

[Vektormannen]

Det stemmer. Bare primtallene på formen 4n+3 vil være Gaussiske primtall også (http://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_i ... eal_domain)

[Aleks855]

Ah nice. Mattelærern min nevnte dette i ei bisetning, så fikk jeg litt blod på tann

[wingeer]

5 er irredusibelt i Z (og derfor primisk, siden Z er et PID - "principal ideal domain". Her gjelder hvis og bare hvis, dvs. primisk <=> irredusibel).
5 er ikke irredusibelt over de gaussiske heltallene siden [tex]5=(2-i)(2+i)[/tex] og siden ingen av faktorene er "units" (divisorer av enhetselementet).
Tror det ble riktig. :p