matematikk.net

Hei!

Har [tex]e^x = ln(x)[/tex] en løsning for en reell x?

ln(x) er bare definert for positive x, så det holder å sjekke disse verdiene.

I tillegg er ln inversfunksjonen til exp slik at grafene til e^x og ln(x) er speilbilder av hverandre om linja y=x.

Det er greit å argumentere at [tex]e^x > x[/tex] for alle positive x, og dermed krysser ikke grafen til e^x linja y=x og da krysser heller ikke grafen til ln(x) linja y=x. Grafene skjærer hverandre altså aldri, og det er dermed ingen løsninger for x.

Dette synes jeg var en litt for "teoretisk" måte å løse problemet på i og med at dette var en oppgave som ble gitt i Matte1.

Finnes det alternative måter å vise dette på?

vel, e^x er konveks i (0, inf), mens ln(x) er konkav i (0, inf), og lim x->0 e^x > ln(x).
Kanskje det holder?

Det vanligste er vel å la [tex]f(x) = e^x - \ln x[/tex] og vise at [tex]f^{\prime}(x) = e^x - \frac{1}{x}[/tex] ikke har noen nullpunkter. Siden [tex]\ln x \leq 0[/tex] for [tex]x \leq 1[/tex] kan vi la [tex]x > 1[/tex]. Da er [tex]\frac{1}{x} < 1[/tex] og [tex]- \frac{1}{x} > -1[/tex], så [tex]e^x - \frac{1}{x} > e^x -1 > 0[/tex].

Jeg tenkte i den stilen, men kom ikkje på å vurdere tilfellene x>1 og x<1 for seg selv! Takk for hjelpen, jeg følte at et slikt argument måtte finnes:)