Sinus-vendepunkt

[hermanoen]

Hei!

Er det slik at vendepunktene til en sinusfunksjon og cosinusfunksjon alltid vil være på likevektslinja (y=d)?

Vil f.eks vendepunktene til 5sin(3x+2.2)+2 alltid ligge på y=2?

[Emilga]

Jepp, det stemmer. Klarer du å (be-)vise hvorfor?

[hermanoen]

Takk for kjapt svar!

Klarer ikke bevise det matematisk tror jeg. Men siden perioden og amplituden er konstant hele tiden og likevektslinjen ligger midt i mellom toppunkt og bunnpunkt så må det jo nesten bli slik.

[dan]

Èn mulig definisjon av vendepunkt er der hvor funksjonen endrer konkavitet fra konveks til konkav eller motsatt. Dersom den andre-deriverte er definert i punktet, vil den være null der.

Hvis vi ser på den andre-deriverte til funksjonen
[tex] f(x) = a\cdot sin(bx + c) +d [/tex],
har vi at [tex] f\prime\prime(x) = -a\cdot b^2 \cdot \sin(bx + c)[/tex]

Setter vi den siste til å være lik null, og løser mhp. x, får vi

[tex] x = \frac{\pi n}{b} - \frac{c}{b}[/tex]

Setter vi inn dette i linkningen for f, får vi altså

[tex] f(\frac{\pi\cdot n}{b} - \frac{c}{b}) = a\cdot \sin(b \cdot (\frac{\pi n}{b} - \frac{c}{b}) +c) +d[/tex]

Forkorter vi, får vi [tex]a\cdot \sin(\pi n) + d = d[/tex]

Altså fil f alltid ha funksjonsverdien d der den andrederiverte er lik null. Tilsvarende kan du vise for cosinus.

Merk at dette bare er et spesialtilfelle der innmaten i sinus er et førstegradspolynom. Man kan også vise at det gjelder i mer generelle tilfeller, men regninen blir jo litt mer grisete.

[hermanoen]

Skjønner, takk

[Nebuchadnezzar]

Blir vel vanskelig å generalisere noe særlig mer enn polynomer av første grad, om en ikke legger til flere restriksjoner på enten inmaten eller intervalet.

For eksempel så vil funksjonen [tex]\sin((x-a)^2)[/tex] ha et vendepunkt for [tex]x=a[/tex], men [tex]\sin(a)=1 \neq 1/2[/tex],