matematikk.net

Hei!

Er det slik at vendepunktene til en sinusfunksjon og cosinusfunksjon alltid vil være på likevektslinja (y=d)?

Vil f.eks vendepunktene til 5sin(3x+2.2)+2 alltid ligge på y=2?

Jepp, det stemmer. Klarer du å (be-)vise hvorfor?

Takk for kjapt svar!

Klarer ikke bevise det matematisk tror jeg. Men siden perioden og amplituden er konstant hele tiden og likevektslinjen ligger midt i mellom toppunkt og bunnpunkt så må det jo nesten bli slik.

Èn mulig definisjon av vendepunkt er der hvor funksjonen endrer konkavitet fra konveks til konkav eller motsatt. Dersom den andre-deriverte er definert i punktet, vil den være null der.

Hvis vi ser på den andre-deriverte til funksjonen
[tex] f(x) = a\cdot sin(bx + c) +d [/tex],
har vi at [tex] f\prime\prime(x) = -a\cdot b^2 \cdot \sin(bx + c)[/tex]

Setter vi den siste til å være lik null, og løser mhp. x, får vi

[tex] x = \frac{\pi n}{b} - \frac{c}{b}[/tex]

Setter vi inn dette i linkningen for f, får vi altså

[tex] f(\frac{\pi\cdot n}{b} - \frac{c}{b}) = a\cdot \sin(b \cdot (\frac{\pi n}{b} - \frac{c}{b}) +c) +d[/tex]

Forkorter vi, får vi [tex]a\cdot \sin(\pi n) + d = d[/tex]

Altså fil f alltid ha funksjonsverdien d der den andrederiverte er lik null. Tilsvarende kan du vise for cosinus.

Merk at dette bare er et spesialtilfelle der innmaten i sinus er et førstegradspolynom. Man kan også vise at det gjelder i mer generelle tilfeller, men regninen blir jo litt mer grisete.

Skjønner, takk

Blir vel vanskelig å generalisere noe særlig mer enn polynomer av første grad, om en ikke legger til flere restriksjoner på enten inmaten eller intervalet.

For eksempel så vil funksjonen [tex]\sin((x-a)^2)[/tex] ha et vendepunkt for [tex]x=a[/tex], men [tex]\sin(a)=1 \neq 1/2[/tex],