formelldef. grense bevis

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Post Reply
mstud
Grothendieck
Grothendieck
Posts: 825
Joined: 14/02-2011 15:08
Location: Matteboken (adresse kun gyldig i semesteret) :)

Hei!

Har en oppgave her som jeg ikke kommer helt i gang med (det er ikke den samme som Kork skrev om i sted):

Image

Noen som har et hint de vil komme med? Eg ser at det er slik som eg skal få bevise, men kommer ikke helt i gang med å sette opp uttrykket.
Det er bedre å stille et spørsmål og ikke få et svar, enn å ikke stille et spørsmål og ikke få et svar.

Det aller beste er enten:
å stille et spørsmål og få et svar
eller
å ikke stille et spørsmål og få et svar.
Top
Vektormannen
Euler
Euler
Posts: 5889
Joined: 26/09-2007 19:35
Location: Trondheim
Contact:
Contact Vektormannen

Først og fremst må de to grensene oversettes til definisjonen. Vi vet at for en hver [tex]\epsilon > 0[/tex] finnes det en [tex]R_1[/tex] slik at [tex]x > R_1 \ \Rightarrow \ |f(x) - L| < \epsilon[/tex], og vi vet at for en hver B > 0 eksisterer det en [tex]R_2[/tex] slik at [tex]x > R_2 \ \Rightarrow \ g(x) > B[/tex].

Det du har lyst til å vise er at for en hver [tex]\epsilon > 0[/tex] eksisterer det en [tex]R[/tex] slik at [tex]x > R \ \Rightarrow \ |f(g(x)) - L| < \epsilon[/tex].

Det er egentlig ikke så mye som mangler nå. Hvordan kan du velge R? (Hint: Hva må g(x) være større enn for at [tex]|f(g(x)) - L| < \epsilon[/tex]?)
Elektronikk @ NTNU | nesizer
Top
mstud
Grothendieck
Grothendieck
Posts: 825
Joined: 14/02-2011 15:08
Location: Matteboken (adresse kun gyldig i semesteret) :)

Vektormannen wrote:Først og fremst må de to grensene oversettes til definisjonen. Vi vet at for en hver [tex]\epsilon > 0[/tex] finnes det en [tex]R_1[/tex] slik at [tex]x > R_1 \ \Rightarrow \ |f(x) - L| < \epsilon[/tex], og vi vet at for en hver B > 0 eksisterer det en [tex]R_2[/tex] slik at [tex]x > R_2 \ \Rightarrow \ g(x) > B[/tex].

Det du har lyst til å vise er at for en hver [tex]\epsilon > 0[/tex] eksisterer det en [tex]R[/tex] slik at [tex]x > R \ \Rightarrow \ |f(g(x)) - L| < \epsilon[/tex].

Det er egentlig ikke så mye som mangler nå. Hvordan kan du velge R? (Hint: Hva må g(x) være større enn for at [tex]|f(g(x)) - L| < \epsilon[/tex]?)
Jeg vet ikke om jeg ser det...

Må g(x)>x ???
Det er bedre å stille et spørsmål og ikke få et svar, enn å ikke stille et spørsmål og ikke få et svar.

Det aller beste er enten:
å stille et spørsmål og få et svar
eller
å ikke stille et spørsmål og få et svar.
Top
Vektormannen
Euler
Euler
Posts: 5889
Joined: 26/09-2007 19:35
Location: Trondheim
Contact:
Contact Vektormannen

Nei, ikke helt :P

Men er du med på at vi kan få [tex]|f(g(x)) - L| < \epsilon[/tex] hvis bare [tex]g(x)[/tex] er stor nok? Her er det viktig å ikke la seg forvirre av at det er g(x) i stedet for x. Hvis [tex]g(x) > R_1[/tex] så vil det implisere at [tex]|f(g(x)) - L| < \epsilon[/tex]. Er du med på det?

Kan vi klare å få [tex]g(x) > R_1[/tex]?
Elektronikk @ NTNU | nesizer
Top
mstud
Grothendieck
Grothendieck
Posts: 825
Joined: 14/02-2011 15:08
Location: Matteboken (adresse kun gyldig i semesteret) :)

Vektormannen wrote:Nei, ikke helt :P

Men er du med på at vi kan få [tex]|f(g(x)) - L| < \epsilon[/tex] hvis bare [tex]g(x)[/tex] er stor nok? Her er det viktig å ikke la seg forvirre av at det er g(x) i stedet for x. Hvis [tex]g(x) > R_1[/tex] så vil det implisere at [tex]|f(g(x)) - L| < \epsilon[/tex]. Er du med på det?

Kan vi klare å få [tex]g(x) > R_1[/tex]?
Det er greit:)

Det vil jeg tro vi klarer :wink: Men jeg må vel prøve å finne ut hvordan...
Det er bedre å stille et spørsmål og ikke få et svar, enn å ikke stille et spørsmål og ikke få et svar.

Det aller beste er enten:
å stille et spørsmål og få et svar
eller
å ikke stille et spørsmål og få et svar.
Top
Vektormannen
Euler
Euler
Posts: 5889
Joined: 26/09-2007 19:35
Location: Trondheim
Contact:
Contact Vektormannen

Vi vet at [tex]\lim_{x \to \infty} g(x) = \infty[/tex]. Det vil si at vi kan få [tex]g(x)[/tex] så stor vi bare vil, ved å gjøre x stor nok. Mer spesifikt vet vi da at det finnes et tall [tex]R_2[/tex] slik at når [tex]x > R_2[/tex] er [tex]g(x) > R_1[/tex]! (Dette var det jeg sa i det første innlegget også.)

Nå er beviset så og si fullført. Er du med på ideen?
Elektronikk @ NTNU | nesizer
Top
mstud
Grothendieck
Grothendieck
Posts: 825
Joined: 14/02-2011 15:08
Location: Matteboken (adresse kun gyldig i semesteret) :)

Vektormannen wrote:Vi vet at [tex]\lim_{x \to \infty} g(x) = \infty[/tex]. Det vil si at vi kan få [tex]g(x)[/tex] så stor vi bare vil, ved å gjøre x stor nok. Mer spesifikt vet vi da at det finnes et tall [tex]R_2[/tex] slik at når [tex]x > R_2[/tex] er [tex]g(x) > R_1[/tex]! (Dette var det jeg sa i det første innlegget også.)

Nå er beviset så og si fullført. Er du med på ideen?
Ideen ser jeg nå, men er ikke helt sikker på føringen av det...
Det er bedre å stille et spørsmål og ikke få et svar, enn å ikke stille et spørsmål og ikke få et svar.

Det aller beste er enten:
å stille et spørsmål og få et svar
eller
å ikke stille et spørsmål og få et svar.
Top
Vektormannen
Euler
Euler
Posts: 5889
Joined: 26/09-2007 19:35
Location: Trondheim
Contact:
Contact Vektormannen

Det kan sikkert føres på flere måter, men jeg tror noe sånt bør holde:

Siden [tex]\lim_{x \to \infty} f(x) = L[/tex] har vi at for en hver [tex]\epsilon > 0[/tex] eksisterer det en [tex]R_1[/tex] slik at [tex]x > R_1 \ \Rightarrow \ |f(x) - L| < \epsilon[/tex]. Fra [tex]\lim_{x \to \infty} g(x) = \infty[/tex] har vi at det eksisterer en [tex]R_2[/tex] slik at [tex]x > R_2 \ \Rightarrow \ g(x) > R_1 \ \Rightarrow \ |f(g(x)) - L| < \epsilon[/tex].
Elektronikk @ NTNU | nesizer
Top
mstud
Grothendieck
Grothendieck
Posts: 825
Joined: 14/02-2011 15:08
Location: Matteboken (adresse kun gyldig i semesteret) :)

Vektormannen wrote:Det kan sikkert føres på flere måter, men jeg tror noe sånt bør holde:

Siden [tex]\lim_{x \to \infty} f(x) = L[/tex] har vi at for en hver [tex]\epsilon > 0[/tex] eksisterer det en [tex]R_1[/tex] slik at [tex]x > R_1 \ \Rightarrow \ |f(x) - L| < \epsilon[/tex]. Fra [tex]\lim_{x \to \infty} g(x) = \infty[/tex] har vi at det eksisterer en [tex]R_2[/tex] slik at [tex]x > R_2 \ \Rightarrow \ g(x) > R_1 \ \Rightarrow \ |f(g(x)) - L| < \epsilon[/tex].
Mange tusen takk for hjelpen! :D
Det er bedre å stille et spørsmål og ikke få et svar, enn å ikke stille et spørsmål og ikke få et svar.

Det aller beste er enten:
å stille et spørsmål og få et svar
eller
å ikke stille et spørsmål og få et svar.
Top
Post Reply

Return to “Høyskole og universitet”