matematikk.net

Hei!

Har en oppgave her som jeg ikke kommer helt i gang med (det er ikke den samme som Kork skrev om i sted):



Noen som har et hint de vil komme med? Eg ser at det er slik som eg skal få bevise, men kommer ikke helt i gang med å sette opp uttrykket.

Først og fremst må de to grensene oversettes til definisjonen. Vi vet at for en hver [tex]\epsilon > 0[/tex] finnes det en [tex]R_1[/tex] slik at [tex]x > R_1 \ \Rightarrow \ |f(x) - L| < \epsilon[/tex], og vi vet at for en hver B > 0 eksisterer det en [tex]R_2[/tex] slik at [tex]x > R_2 \ \Rightarrow \ g(x) > B[/tex].

Det du har lyst til å vise er at for en hver [tex]\epsilon > 0[/tex] eksisterer det en [tex]R[/tex] slik at [tex]x > R \ \Rightarrow \ |f(g(x)) - L| < \epsilon[/tex].

Det er egentlig ikke så mye som mangler nå. Hvordan kan du velge R? (Hint: Hva må g(x) være større enn for at [tex]|f(g(x)) - L| < \epsilon[/tex]?)

Vektormannen wrote:Først og fremst må de to grensene oversettes til definisjonen. Vi vet at for en hver [tex]\epsilon > 0[/tex] finnes det en [tex]R_1[/tex] slik at [tex]x > R_1 \ \Rightarrow \ |f(x) - L| < \epsilon[/tex], og vi vet at for en hver B > 0 eksisterer det en [tex]R_2[/tex] slik at [tex]x > R_2 \ \Rightarrow \ g(x) > B[/tex].

Det du har lyst til å vise er at for en hver [tex]\epsilon > 0[/tex] eksisterer det en [tex]R[/tex] slik at [tex]x > R \ \Rightarrow \ |f(g(x)) - L| < \epsilon[/tex].

Det er egentlig ikke så mye som mangler nå. Hvordan kan du velge R? (Hint: Hva må g(x) være større enn for at [tex]|f(g(x)) - L| < \epsilon[/tex]?)

Jeg vet ikke om jeg ser det...

Må g(x)>x ???

Nei, ikke helt

Men er du med på at vi kan få [tex]|f(g(x)) - L| < \epsilon[/tex] hvis bare [tex]g(x)[/tex] er stor nok? Her er det viktig å ikke la seg forvirre av at det er g(x) i stedet for x. Hvis [tex]g(x) > R_1[/tex] så vil det implisere at [tex]|f(g(x)) - L| < \epsilon[/tex]. Er du med på det?

Kan vi klare å få [tex]g(x) > R_1[/tex]?

Vektormannen wrote:Nei, ikke helt

Men er du med på at vi kan få [tex]|f(g(x)) - L| < \epsilon[/tex] hvis bare [tex]g(x)[/tex] er stor nok? Her er det viktig å ikke la seg forvirre av at det er g(x) i stedet for x. Hvis [tex]g(x) > R_1[/tex] så vil det implisere at [tex]|f(g(x)) - L| < \epsilon[/tex]. Er du med på det?

Kan vi klare å få [tex]g(x) > R_1[/tex]?

Det er greit:)

Det vil jeg tro vi klarer Men jeg må vel prøve å finne ut hvordan...

Vi vet at [tex]\lim_{x \to \infty} g(x) = \infty[/tex]. Det vil si at vi kan få [tex]g(x)[/tex] så stor vi bare vil, ved å gjøre x stor nok. Mer spesifikt vet vi da at det finnes et tall [tex]R_2[/tex] slik at når [tex]x > R_2[/tex] er [tex]g(x) > R_1[/tex]! (Dette var det jeg sa i det første innlegget også.)

Nå er beviset så og si fullført. Er du med på ideen?

Vektormannen wrote:Vi vet at [tex]\lim_{x \to \infty} g(x) = \infty[/tex]. Det vil si at vi kan få [tex]g(x)[/tex] så stor vi bare vil, ved å gjøre x stor nok. Mer spesifikt vet vi da at det finnes et tall [tex]R_2[/tex] slik at når [tex]x > R_2[/tex] er [tex]g(x) > R_1[/tex]! (Dette var det jeg sa i det første innlegget også.)

Nå er beviset så og si fullført. Er du med på ideen?

Ideen ser jeg nå, men er ikke helt sikker på føringen av det...

Det kan sikkert føres på flere måter, men jeg tror noe sånt bør holde:

Siden [tex]\lim_{x \to \infty} f(x) = L[/tex] har vi at for en hver [tex]\epsilon > 0[/tex] eksisterer det en [tex]R_1[/tex] slik at [tex]x > R_1 \ \Rightarrow \ |f(x) - L| < \epsilon[/tex]. Fra [tex]\lim_{x \to \infty} g(x) = \infty[/tex] har vi at det eksisterer en [tex]R_2[/tex] slik at [tex]x > R_2 \ \Rightarrow \ g(x) > R_1 \ \Rightarrow \ |f(g(x)) - L| < \epsilon[/tex].

Vektormannen wrote:Det kan sikkert føres på flere måter, men jeg tror noe sånt bør holde:

Siden [tex]\lim_{x \to \infty} f(x) = L[/tex] har vi at for en hver [tex]\epsilon > 0[/tex] eksisterer det en [tex]R_1[/tex] slik at [tex]x > R_1 \ \Rightarrow \ |f(x) - L| < \epsilon[/tex]. Fra [tex]\lim_{x \to \infty} g(x) = \infty[/tex] har vi at det eksisterer en [tex]R_2[/tex] slik at [tex]x > R_2 \ \Rightarrow \ g(x) > R_1 \ \Rightarrow \ |f(g(x)) - L| < \epsilon[/tex].

Mange tusen takk for hjelpen!