Løse matrise differensiallikning via picard iterasjon

[Nebuchadnezzar]

Har i oppgave å løse

[tex]\dot{x} = x A[/tex] med initialbetingelse [tex]x(0) = x_0[/tex].

med Picard iterasjon.

Ser jo selvsagt at difflikningen er separabel, og løsningen blir følgelig
[tex] x(t) = x_0 e^{At} = x_0 \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(At)^k}{k!} [/tex]

Men når jeg prøvde å komme frem til dette via iterasjon, satt jeg litt fast.
Er det noen lure knep her som en kan benytte seg av?

[Gustav]

Integrerer ligningen

[tex]x(t)=x_0+\int_0^t Ax(s)ds[/tex]

Picarditerasjonen er definert ved at

[tex]x_{n+1}=x_0+\int_0^t Ax_n\,ds[/tex]

n=0:
[tex]x_1=x_0+\int_0^t Ax_0\,ds=x_0+Atx_0[/tex]


n=1:
[tex]x_2=x_0+\int_0^t Ax_1\,ds=x_0+\int_0^tA(x_0+Atx_0)\,dt[/tex]

etc.

Dette burde gi samme formel som du fikk.

[Nebuchadnezzar]

Det burde det ja, og det var det jeg gjorde. Men jeg klarer ikke uansett hvor hardt jeg stirrer å se at de er like.

[Emilga]

Litt småpirk: A er en matrise, og x en vektor, så A må virke på x fra venstre. (Du har skrevet omvendt av oppgaven.)

Jeg har løst oppgaven vha induksjon. Anta at x_n er den endelige rekkeutviklingen av eksponentialfunksjonen til n-te grad. Iterer med Picard en gang og observer at x_{n+1} er på samme form. Observer at x_0 = x_0 og la n gå mot uendelig.

[drgz]

Litt småpirk: A er en matrise, og x en vektor, så A må virke på x fra venstre. (Du har skrevet omvendt av oppgaven.).

Kanskje Nebu lever i en verden av rad-vektorer. :p

[Gustav]

Definer en avbildning [tex]T[/tex] gitt ved at [tex]Tx=x_0+\int_0^tAxds[/tex].

Vis at T er en kontraksjon og bruk Banachs fikspunktteorem. Vis at følgen definert ved Picarditerasjonen konvergerer mot løsningen du fant i åpningsinnlegget.