matematikk.net

Løs likningen x^3 + 2x^2 - x - 2 = 0
Hvordan skal jeg gå fram?

Hvis jeg får oppgitt at for eksempel (x-1) går opp, da kan jeg klare det, men det er ikke oppgitt.

Jeg vet at når f(x) = 0 og når denne er slik x - 1 = 0 --> x = 1, vet jeg at det går opp...

Men denne var litt vrien:) Skal jeg bare gjette meg fram?

takker for hjelp!

ja, prøv deg fram. f.eks med x=1,
så deler du f(x) på x-1
osv...

Janhaa wrote:ja, prøv deg fram. f.eks med x=1,
så deler du f(x) på x-1
osv...

takk:)

Eventuelle heltallsløsninger vil alltid være delelige på konstantleddet.
Her har du [tex]-2[/tex], altså vil du prøve med [tex]x=\pm 2[/tex], [tex]x=\pm 1[/tex]. På videregående vil løsningene tilnærmet alltid være heltall, pene og små.

Frekkisen er å se omskrivningen

[tex]x^3 + 2x^2 - x - 2 \,=\, x^2(x+2) \,-\, (x+2) \,=\, (x+2)\cdot (x^2-1) \,=\, \ldots[/tex]

Men du trenger ikke å gjette blindt!

Det finnes et teorem som sier at de rationale røttene til et polynom med heltallige koeffisienter er på formen [tex]\pm \frac{p}{q}[/tex] der p er en heltallig faktor i konstantleddet og q er en heltallig faktor den ledende koeffisienten (koeffisienten til det leddet med høyest grad).

Her er konstantleddet 2 (-2, men siden det er [tex]\pm[/tex] i det generelle uttrykket, er det greit å jobbe med tallverdien), som kun har heltallsfaktorene 1 og 2.

Den ledende koeffisienten er 1, som bare har faktor 1.

Da trenger du bare å teste [tex]x = \pm \frac{1}{1} = \pm 1[/tex] og [tex]x = \pm \frac{2}{1} = \pm 2[/tex].