http://www.uio.no/studier/emner/matnat/ ... Oblig1.pdf
noen her som skjønner hvordan man kan løse oppgave 4?
hvis så hadde det vært kjempebra med noen tips! enten her, eller på
fiskmoss@hotmail.com
mvh
seb
3.grads polynom ??
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Guest
hups.. feil link.. 
dette er den riktige linken: http://www.uio.no/studier/emner/matnat/ ... Oblig2.pdf
det er oppgave 4 der jeg lurer på..
dette er den riktige linken: http://www.uio.no/studier/emner/matnat/ ... Oblig2.pdf
det er oppgave 4 der jeg lurer på..
-
Solar Plexsus
- Over-Guru
- Posts: 1686
- Joined: 03/10-2005 12:09
a) Kravene om kontinuitet og deriverbarhet overalt innebærer at
1) f(0)=0 og f(1)=1 (kontinuitetskravet)
2) f´(0)=0 og f´(1)=0 (deriverbarhetskravet)
Nå er f(x)=ax[sup]3[/sup] + bx[sup]2[/sup]+ cx + d, noe som medfører at f´(x)=3ax[sup]2[/sup] + 2bx + c. Dermed gir krav 1 at
f(0)=d=0 og f(1)=a+b+c+d=1
mens krav 2 gir
f´(0)=c=0 og f´(1)=3a+2b+c=0.
Altså må c=d=0, a+b=1 og 3a+2b=0, som innebærer at a=-2 og b=3. M.a.o. blir f(x)=-2x[sup]3[/sup]+3x[sup]2[/sup].
b) For at den andrederiverte av h skal være kontinuerlig overalt, må
3) f´´(0)=0 og f´´(1)=0.
Ved derivasjon får vi at f´(x)=-6x[sup]2[/sup] + 6x og f´´(x)=-12x+6. Herav følger at f´´(0)=6. Dermed oppfyller funksjonen ikke krav 3.
En funksjon som derimot oppfyller alle kravene 1-3, er
f(x)=6x[sup]5[/sup] - 15x[sup]4[/sup] + 10x[sup]3[/sup].
1) f(0)=0 og f(1)=1 (kontinuitetskravet)
2) f´(0)=0 og f´(1)=0 (deriverbarhetskravet)
Nå er f(x)=ax[sup]3[/sup] + bx[sup]2[/sup]+ cx + d, noe som medfører at f´(x)=3ax[sup]2[/sup] + 2bx + c. Dermed gir krav 1 at
f(0)=d=0 og f(1)=a+b+c+d=1
mens krav 2 gir
f´(0)=c=0 og f´(1)=3a+2b+c=0.
Altså må c=d=0, a+b=1 og 3a+2b=0, som innebærer at a=-2 og b=3. M.a.o. blir f(x)=-2x[sup]3[/sup]+3x[sup]2[/sup].
b) For at den andrederiverte av h skal være kontinuerlig overalt, må
3) f´´(0)=0 og f´´(1)=0.
Ved derivasjon får vi at f´(x)=-6x[sup]2[/sup] + 6x og f´´(x)=-12x+6. Herav følger at f´´(0)=6. Dermed oppfyller funksjonen ikke krav 3.
En funksjon som derimot oppfyller alle kravene 1-3, er
f(x)=6x[sup]5[/sup] - 15x[sup]4[/sup] + 10x[sup]3[/sup].
-
fiskmoss
hjertelig takk...
men åssen kommer du frem til den 5. grads polynomen? er det noen sammenheng der?? eller tar man den bare ut fra løse luften?
men åssen kommer du frem til den 5. grads polynomen? er det noen sammenheng der?? eller tar man den bare ut fra løse luften?
-
Solar Plexsus
- Over-Guru
- Posts: 1686
- Joined: 03/10-2005 12:09
Denne funksjonen skal oppfylle følgende krav:
1) f(0) = 0 & f(1) = 1.
2) f`(0) = f`(1) = 0.
3) f``(0) = f ``(1) = 0.
En funksjon som oppfyller krav 2 og 3 er
f`(x) = a[x(x - 1)][sup]2[/sup]
der a er en konstant. Ved å integrere finner vi at
f(x) = a[itgl][/itgl]x[sup]4[/sup] - 2x[sup]3[/sup] + x[sup]2[/sup] dx = a[(1/5)x[sup]5[/sup] - (1/2)x[sup]4[/sup] + (1/3)x[sup]3[/sup]] + b
hvor b er en konstant. Ifølge krav 1 må f(0)=0, dvs. at b=0. Videre må f(1)=1, noe som innebærer at
1 = f(1) = a[(1/5) - (1/2) + (1/3)] + b = a/30.
M.a.o. er a=30, som igjen gir
f(x) = 30[(1/5)x[sup]5[/sup] - (1/2)x[sup]4[/sup] + (1/3)x[sup]3[/sup]] = 6x[sup]5[/sup] - 15x[sup]4[/sup] + 10x[sup]3[/sup].
1) f(0) = 0 & f(1) = 1.
2) f`(0) = f`(1) = 0.
3) f``(0) = f ``(1) = 0.
En funksjon som oppfyller krav 2 og 3 er
f`(x) = a[x(x - 1)][sup]2[/sup]
der a er en konstant. Ved å integrere finner vi at
f(x) = a[itgl][/itgl]x[sup]4[/sup] - 2x[sup]3[/sup] + x[sup]2[/sup] dx = a[(1/5)x[sup]5[/sup] - (1/2)x[sup]4[/sup] + (1/3)x[sup]3[/sup]] + b
hvor b er en konstant. Ifølge krav 1 må f(0)=0, dvs. at b=0. Videre må f(1)=1, noe som innebærer at
1 = f(1) = a[(1/5) - (1/2) + (1/3)] + b = a/30.
M.a.o. er a=30, som igjen gir
f(x) = 30[(1/5)x[sup]5[/sup] - (1/2)x[sup]4[/sup] + (1/3)x[sup]3[/sup]] = 6x[sup]5[/sup] - 15x[sup]4[/sup] + 10x[sup]3[/sup].