matematikk.net

http://www.uio.no/studier/emner/matnat/ ... Oblig1.pdf
noen her som skjønner hvordan man kan løse oppgave 4?
hvis så hadde det vært kjempebra med noen tips! enten her, eller på
fiskmoss@hotmail.com

mvh
seb

hups.. feil link..
dette er den riktige linken: http://www.uio.no/studier/emner/matnat/ ... Oblig2.pdf
det er oppgave 4 der jeg lurer på..

a) Kravene om kontinuitet og deriverbarhet overalt innebærer at

1) f(0)=0 og f(1)=1 (kontinuitetskravet)

2) f´(0)=0 og f´(1)=0 (deriverbarhetskravet)

Nå er f(x)=ax[sup]3[/sup] + bx[sup]2[/sup]+ cx + d, noe som medfører at f´(x)=3ax[sup]2[/sup] + 2bx + c. Dermed gir krav 1 at

f(0)=d=0 og f(1)=a+b+c+d=1

mens krav 2 gir

f´(0)=c=0 og f´(1)=3a+2b+c=0.

Altså må c=d=0, a+b=1 og 3a+2b=0, som innebærer at a=-2 og b=3. M.a.o. blir f(x)=-2x[sup]3[/sup]+3x[sup]2[/sup].

b) For at den andrederiverte av h skal være kontinuerlig overalt, må

3) f´´(0)=0 og f´´(1)=0.

Ved derivasjon får vi at f´(x)=-6x[sup]2[/sup] + 6x og f´´(x)=-12x+6. Herav følger at f´´(0)=6. Dermed oppfyller funksjonen ikke krav 3.

En funksjon som derimot oppfyller alle kravene 1-3, er

f(x)=6x[sup]5[/sup] - 15x[sup]4[/sup] + 10x[sup]3[/sup].

hjertelig takk...
men åssen kommer du frem til den 5. grads polynomen? er det noen sammenheng der?? eller tar man den bare ut fra løse luften?

Denne funksjonen skal oppfylle følgende krav:

1) f(0) = 0 & f(1) = 1.

2) f`(0) = f`(1) = 0.

3) f``(0) = f ``(1) = 0.

En funksjon som oppfyller krav 2 og 3 er

f`(x) = a[x(x - 1)][sup]2[/sup]

der a er en konstant. Ved å integrere finner vi at

f(x) = a[itgl][/itgl]x[sup]4[/sup] - 2x[sup]3[/sup] + x[sup]2[/sup] dx = a[(1/5)x[sup]5[/sup] - (1/2)x[sup]4[/sup] + (1/3)x[sup]3[/sup]] + b

hvor b er en konstant. Ifølge krav 1 må f(0)=0, dvs. at b=0. Videre må f(1)=1, noe som innebærer at

1 = f(1) = a[(1/5) - (1/2) + (1/3)] + b = a/30.

M.a.o. er a=30, som igjen gir

f(x) = 30[(1/5)x[sup]5[/sup] - (1/2)x[sup]4[/sup] + (1/3)x[sup]3[/sup]] = 6x[sup]5[/sup] - 15x[sup]4[/sup] + 10x[sup]3[/sup].