matematikk.net

f(x)=ln x

a) Tegn grafen til f for x<0,3]

b) Skraver det flatestykket som er avgrenset av x-aksen, grafen til f, linja x=1 og linja x=2

c) Finn en tilnærmingsverdi for arealet av flatestykket. Bruk ti rektangler.

d) Hva blir etter dette [tex]\int_1^2 ln x dx[/tex] tilnærmet lik?

Dette er nok en svært enkel oppgave, men står veldig dårlig forklart i boka.

Hvor langt har du kommet?

Har tegnet grafen. Men lurer litt på de andre oppgavene.

Når du skal tilnærme verdien ved bruk av ti rektangler så finner du høyden i et punkt og multipliserer med bredden dette rektangelet skal ha. I dette tilfellet blir det 0,1 fordi du har totalt 1 i bredde (fra 1 til 2) og du skal dele det opp i ti rektangler. Summen av disse arealene blir tilnærmet summen av det under grafen.

Essensielt er dette tankegangen bak integraler, med unntak av at bredden i et integral blir infinitesimal, altså VELDIG liten og man får et nøyaktig areal.

Det skjønte jeg ikke helt.. Kunne du tegnet det for meg og postet et bilde av det?

Her er et eksempel. Vi tilnærmer funksjonen ved å lage en rekke med rektangler. Når vi summerer alle arealene av rektanglene, får vi en grei tilnærming til arealet under grafen.

Merk, jeg har ikke brukt din funksjon her. Og jeg har bare brukt 7 rektangler.

Merk også at arealene av rektanglene er veldig lett å regne ut. Det er jo bare høyde*bredde. Høyde vil være f(x), og bredde er [tex]\Delta x[/tex]. I ditt tilfelle vil [tex]\Delta x = 1/10[/tex] siden intervallet ditt er fra 1 til 2.

Ooooog, merk at jeg har brukt venstrepunktsregelen. Altså er høyda i rektangelet basert på øvre venstre hjørne av rektangelet. Det finnes flere variasjoner av dette. Blant annet midtpunkt og høyrepunkt.

Takk! Forsto det bedre nå. Men hvordan regner jeg ut oppgave d)?

For meg ser det ut som oppgave c og d er samme greia, bare spurt på forskjellig måte :S

Men hvordan skulle jeg regnet ut det integralet, da? Gitt at det var kun den oppgaven.

[tex]\int_1^2\ln (x) dx = [x\ln (x)+x]_1^2 = [(2\ln2+2)-(\ln1+1)][/tex] Så er det bare å trekke sammen

Aleks855 wrote:[tex]\int_1^2\ln (x) dx = [x\ln (x)+x]_1^2 [/tex]

Hvorfor plusser du med x her?

Sorry, skal være minus. Lenge siden jeg integrerte lnx, og den gjøres stort sett etter minnet når man har gjort det noen ganger

Hehe, det var egentlig ikke ment som korrektur! Men jeg bruker du noen form for kjerneregel, eller liknende?

Nei, det integralet lærte jeg fordi boka ba meg om å derivere [tex]x\ln(x)-x[/tex], og det viste seg å bli [tex]\ln(x)[/tex]. Tror det var bokas måte å unngå å lære oss å faktisk integrere lnx, hehe

Men man kan helt enkelt løse den ved å bruke delvis.

Skriver man om [tex]\ln x = \ln x \cdot 1[/tex] så kan man kjøre delvis integrasjon derfra.

Siden jeg faktisk aldri har gjort det selv: